Bac de maths

Corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de juin 2012 aux Antilles

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 On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction définie et dérivable sur ainsi que la tangente à cette courbe en son point de coordonnées .
On désigne par la fonction dérivée de la fonction .

 

 

PARTIE A

1. Préciser la valeur du réel .
La courbe passe par donc .
2. On admet que la tangente passe par le point de coordonnées .
Justifier que la valeur exacte de est .
est le coefficient directeur de la droite .
Comme passe par et par le coefficient directeur vaut :
Donc on a bien .
3.
La question 3 de l'exercice original porte sur la notion de limite qui ne figure plus au programme.

 

 

4. On admet que la fonction est définie sur l'intervalle par :
où et sont des nombres réels.
a. Démontrer que pour tout réel de , on a .
avec :
(n'oubliez pas le en facteur devant l'exponentielle)
Donc
b. En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels et .
On a :
On doit donc résoudre le système :

PARTIE B

On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est , en centaines d'euros.
D'après une étude de marché, l'offre et la demande pour cet objet, en centaines d'unités, sont définies pour tout positif ou nul par :
1. Si le prix de vente unitaire de l'objet est 300 €, combien d'objets (à l'unité près) les consommateurs sont-ils prêts à acheter ?
Pour répondre à cette question il s'agit de calculer la demande associée au prix de 300 €
(3 centaines d'euros) :
soit 153 objets environ.
2. Calculer le prix de vente unitaire de l'objet, arrondi à l'euro près, pour que la demande soit de 350 objets.
Cette fois il s'agit de résoudre l'équation :
Donc pour arriver à l'objectif fixé il faut que le prix de vente soit d'environ 157 €.
3.a. Déterminer l'unique solution de l'équation , et donner une valeur approchée au centième de cette solution.
On appelle « prix d'équilibre » le prix permettant l'égalité entre l'offre et la demande.
Quel est le prix d'équilibre, arrondi à l'euro près ?
On en déduit que le prix d'équilibre est d'environ 193 €.
b. Au prix d'équilibre, quelle est la valeur commune de l'offre et de la demande, arrondie à l'unité près ?
Quel est le chiffre d'affaire généré par les ventes au prix d'équilibre ?
La valeur commune de l'offre et de la demande aux prix d'équilibre est :
c'est à dire d'environ 286 objets.
Le chiffre d'affaire réalisé est alors d'environ : €.

 

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