Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac ES de maths de juin 2013 en Polynésie

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 Alors qu'une entreprise A possédait le monopole de l'accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente B est autorisée à s'implanter.
Lors de l'ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d'accès B, l'entreprise A possède 90 % du marché et l'entreprise B possède le reste du marché.
Dans cet exercice, on suppose que chaque année, chaque internaute est client d'une seule entreprise A ou B.
On observe à partir de 2010 que chaque année, 15 % des clients de l'entreprise A deviennent des clients de l'entreprise B, et 10% des clients de l'entreprise B deviennent des clients de l'entreprise A.
Pour tout entier naturel , on note la probabilité qu'un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fourni par l'entreprise A pour l'année , et la probabilité pour que son fournisseur d'accès en soit l'entreprise B.
On note la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année et on a ainsi et .

 

 

Partie A

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
2.a. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe.
Par lecture directe sur le graphe on obtient la matrice de transistion suivante :
b. Montrer qu'en 2013, l'état probabiliste est environ .
L'année 2013 est de rang , donc pour obtenir l'état probabiliste en 2013 on doit multiplier par .
En utilisant la calculette on obtient :
puis

 

 

c. Déterminer l'état stable P de la répartition des clients des entreprises A et B. Interpréter le résultat.
L'état stable P est tel que .
On calcule déjà :
et l'égalité donne le système :
On aboutit ainsi à une seule équation à deux inconnues, mais on n'oublie pas que ce qui donne finalement le système :
Donc l'état stable est .
La matrice de transition ne comporte pas de 0, donc l'état du système considéré converge vers cet état stable.

Partie B

Lors d'une campagne de marketing l'entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l'entreprise 0,80 € par stylo et 1,20 € par porte-clés distribué.
A la fin de la journée l'entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 €.
On cherche le nombre de stylos et le nombre de porte-clés distribués.
1. Ecrire un système traduisant cette situation.
A partir des données de l'énoncé on obtient facilement le système :
2. Montrer que le système précédent est équivalent à et X et T sont des matrices que l'on précisera.
On pose , alors le produit donne :
En posant , l'égalité équivaut au système de la question 1.
3. Résoudre le système à l'aide de la calculatrice. Interpréter le résultat.
Avec la calculette on trouve et .
L'entreprise a donc distribué 300 stylos et 250 porte-clés.

 

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