Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2016 en Amérique du nord

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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct .

On considère le point A d'affixe 4, le point B d'affixe et les points C et D tels que ABCD est un carré de centre O.

Pour tout entier naturel non nul , on appelle le point d'affixe .

1. Ecrire le nombre sous forme exponentielle.

Par suite :

2. Montrer qu'il existe un entier naturel , que l'on précisera, tel que, pour tout entier , le point est à l'extérieur du carré ABCD.

Pour tout entier naturel non nul :

Un petit dessin :

Remarquons déjà que le carré est inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 4 ; donc pour tout entier tel que , le point est à l'extérieur du carré.

Pour entier naturel non nul :

On peut donc prendre provisoirement .

Pour déterminer « au plus juste » il y a au plus 4 cas à étudier.

Si ;

or est l'affixe de C, par conséquent n'est pas à l'extérieur du carré.

Il s'ensuit que .

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