Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de mai 2016 au Liban

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On considère la fonction définie sur l'intervalle par :

Partie A

1. Etudier le sens de variation de la fonction sur l'intervalle .

La fonction est dérivable sur et pour tout on a :

Donc

Enfin

Pour tout :

donc .

Il en résulte que est croissante sur l'intervalle considéré.

2. Démontrer que pour tout réel de l'intervalle , (on rappelle que ).

Pour tout :

3. Montrer alors que .

Pour calculer l'intégrale proposée nous avons besoin d'une primitive de .

Pour en trouver une nous utilisons l'expression :

avec .

On remarque de plus que pour tout , .

Donc une primitive sur de est définie par .

Par suite :

Partie B

Soit un entier naturel. On considère les fonctions définies sur par:

On note la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général

1. On a tracé les courbes représentatives des fonctions pour variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe représentative de la fonction .

Pour tout ; .

est la fonction constante 1 sur . Sa courbe représentative est le segment de droite dessiné sur le graphique ci-dessous :

2. Soit un entier naturel, interpréter graphiquement et préciser la valeur de .

Pour tout entier naturel et pour tout , . Du coup représente l'aire du domaine (en u.a.) délimité par :

  • l'axe des abscisses ;

  • les droites d'équation et ;

  • la courbe .

.

3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite ?

Démontrer cette conjecture.

On conjecture que est décroissante car on observe que les aires des domaines successifs sont de plus en plus petites.

Pour tout entier naturel :

Or pour tout : et par conséquent .

Donc pour tout entier naturel , , ce qui prouve que est décroissante.

4. La suite admet-elle une limite ?

Pour tout entier naturel et pour tout , on a , donc .

Finalement est une suite décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.

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