Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de mai 2013 en Amérique du nord

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 On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel par :

 

 

1. On considère l'algorithme suivant :
a. Donner une valeur approchée à près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit .
En faisant tourner l'algorithme à la main avec , les variables prennent les valeurs succesives indiquées dans le tableau ci-dessous :
Donc l'algorithme affiche en sortie
b. Que permet de calculer cet algorithme ?
Cet algorithme calcule pour la valeur de saisie par l'utilisateur.
c. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de .
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite ?
On peut conjecturer que la suite est croissante et qu'elle converge vers 2.

 

 

2.a. Démontrer que, pour tout entier naturel .
On effectue une démonstration par récurrence de la propriété : « ».
Initialisation au rang 0
et on a , donc est vraie.
Hérédité
On suppose que est vraie, c'est à dire qu'on suppose avoir : .
On veut montrer qu'alors est également vraie.
Donc est vraie.
La propriété est initialisée au rang 0 ; elle est héréditaire ; donc elle est vraie pour tout entier naturel .
b. Déterminer le sens de variation de la suite .
Pour tout entier naturel , on peut écrire :
De l'inégalité on déduit (car est croissante sur ) et donc .
Du coup, ce qui montre que la suite est croissante.
c. Démontrer que la suite est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
Dans les questions précédentes on a vu que la suite est croissante et qu'elle est majorée par 2 donc elle est convergente d'après le théorème de la convergence monotone.
3. On considère la suite définie, pour tout entier naturel , par .
a. Démontrer que la suite est la suite géométrique de raison et de premier terme .
Pour tout entier naturel :
Donc est une suite géométrique de raison .
Son premier terme est .
b. Déterminer, pour tout entier naturel , l'expression de en fonction de , puis de en fonction de .
La suite étant géométrique de raison et de premier terme , on a directement la formule explicite :
et :
En remplaçant par sa formule explicite il vient :
c. Déterminer la limite de la suite .
car ;
par produit : ;
en ajoutant : .
Pour finir en composant avec l'exponentielle on obtient .
d. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de telle que .
On doit réaliser une boucle qui calcule les termes de la suite tant que ce qui donne :

 

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