Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de mai 2013 en Amérique du nord
Cacher les corrigés
Soit
la fonction définie sur l'intervalle 
par
la courbe représentative de la fonction dans un repère du plan. La courbe est donnée ci-dessous :
1.a. Etudier la limite de
en 
.
Limite à droite en 0
par valeurs positives ;
et en ajoutant 1 :
.
Enfin, par quotient 
.
b. Que vaut par valeurs positives ;
et en ajoutant 1 :
.
Enfin, par quotient .
? En déduire la limite de la fonction en 
.
On sait que 
(par valeurs positives).
Pour déterminer la limite de en 
et lever l'indétermination en exploitant le résultat énoncé ci-dessus on écrit :
.
.
c. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe (par valeurs positives).
Pour déterminer la limite de en et lever l'indétermination en exploitant le résultat énoncé ci-dessus on écrit :
.
-
-
;
et par produit : 
.
.
.
Le résultat obtenu à la question a. entraîne que admet une asymptote verticale d'équation 
(axe des ordonnées).
Le résultat obtenu à la question b. entraîne que admet en une asymptote horizontale d'équation 
(axe des abscisses).
admet une asymptote verticale d'équation (axe des ordonnées).
Le résultat obtenu à la question b. entraîne que admet en une asymptote horizontale d'équation (axe des abscisses).
2.a. On note
la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .
Démontrer que, pour tout réel 
appartenant à l'intervalle ,
La fonction est dérivable sur 
et on peut écrire :
avec :
; 
; 
b. Résoudre sur l'intervalle est dérivable sur et on peut écrire :
avec :
;
;
l'inéquation 
.
En déduire le signe de 
sur l'intervalle .
Sur on a :
On a de même : 
et
et on a le tableau de signes :
c. Dresser le tableau des variations de la fonction on a :
On a de même : et
et on a le tableau de signes :
.
.
a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
On résout sur l'équation :
Du coup la fonction s'annule sur uniquement pour 
ce qui donne un unique point
d'intersection de avec l'axe des abscisses dont les coordonnées sont 
.
b. En déduire le signe de l'équation :
Du coup la fonction s'annule sur uniquement pour ce qui donne un unique point
d'intersection de avec l'axe des abscisses dont les coordonnées sont .
sur l'intervalle .
En exploitant ce qui précède on obtient facilement le tableau de signes :
4. Pour tout entier
, on note 
l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses,
la courbe et les droites d'équations respectives 
et 
.
a. Démontrer que 
.
On peut déjà remarquer que pour tout 
, la fonction est continue et positive sur l'intervalle 
et du coup
D'après l'étude des variations de la fonction , pour tout 
:
L'intégration de 
à 2 conserve l'ordre (car 
) donc on a :
On admet que la fonction , la fonction est continue et positive sur l'intervalle et du coup
D'après l'étude des variations de la fonction , pour tout :
L'intégration de à 2 conserve l'ordre (car ) donc on a :
, définie sur l'intervalle par 
est une primitive de la fonction sur l'intervalle .
b. Calculer en fonction de 
.
en . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
On écrit : 
.
et
(limite connue) ;
donc 
Finalement en ajoutant 
on obtient 
.
L'aire du domaine délimité par la droite d'équation ; l'axe des abscisses et la courbe vaut u.a. (domaine illimité à droite).
.
et
(limite connue) ;
donc
Finalement en ajoutant on obtient .
L'aire du domaine délimité par la droite d'équation ; l'axe des abscisses et la courbe vaut u.a. (domaine illimité à droite).
