Bac de maths

Corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de novembre 2012 en Amérique du sud

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 Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (unité graphique 2 cm).
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
On considère la transformation qui à tout point du plan d'affixe , distinct de A, associe le point d'affixe
On fera une figure que l'on complètera au fur et à mesure.

 

 

1. Déterminer l'ensemble des points d'affixe tels que (ensemble des points invariants par la transformation ).
Il s'agit de résoudre pour :
Donc la transformation admet 2 points invariants qui sont le point O et le point d'affixe .
2. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B' et C', images respectives des points B et C par .

 

 

3.a. Montrer que, pour tout point distinct de A, l'affixe de vérifie l'égalité :
Pour :
b. En déduire que si le point appartient au cercle de centre A et de rayon 1, alors son image appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
On interprète la relation précédente en terme de module :
Si alors A soit , donc l'égalité devient : , ce qui traduit la relation B.
Donc le point M' appartient au cercle de centre B et de rayon 2.
c. Exprimer une mesure de l'angle en fonction d'une mesure de l'angle .
On considère le point D d'affixe . Vérifier que D appartient au cercle .
Construire, à la règle et au compas, le point D et son image D' par .
Pour vérifier que D appartient à on calcule :
Donc D appartient bien à .
Pour construire D' à la règle et au compas on sait que :
  • D' (question 3.b.)
On construit le point D sur le cercle tel que (D est le symétrique de D par la symétrie d'axe .
On construit la droite (AD) et la droite parallèle à (AD) qui passe par B, celle-ci coupe le cercle en deux points, le point D' est celui pour lequel et sont de même sens.
Figure :
La dernière question du sujet original traite de barycentres. Les barycentres ne sont plus au programme depuis la rentrée 2012.

 

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