Corrigé de l'exercice 3 de maths du bac S de juin 2012 aux Antilles
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Soit
la suite définie pour tout entier naturel 
non nul par
et 
.
2.a. Démontrer que, pour tout entier naturel
non nul, 
est strictement positif.
On montre cela par récurrence.
La propriété 
à montrer pour tout entier naturel non nul est : : « 
».
Initialisation
On a 
et 
, donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang 
, c'est à dire que l'on a 
.
On cherche à montrer qu'avec cette hypothèse on a aussi 
.
Par définition de la suite 
, comme , 
et comme par hypothèse on en déduit que (c'est un produit de
deux quantités strictement positives), du coup 
est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire, donc selon le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel 
.
à montrer pour tout entier naturel non nul est : : « ».
Initialisation
On a et , donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang , c'est à dire que l'on a .
On cherche à montrer qu'avec cette hypothèse on a aussi .
Par définition de la suite , comme , et comme par hypothèse on en déduit que (c'est un produit de
deux quantités strictement positives), du coup est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire, donc selon le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel .
b. Démontrer que la suite
est décroissante.
Comme pour tout entier naturel , on peut considérer le rapport :
Pour tout , 
, donc 
soit 
et comme , cela prouve que 
, donc que 
est décroissante.
c. Que peut-on en déduire pour la suite pour tout entier naturel , on peut considérer le rapport :
Pour tout , , donc soit et comme , cela prouve que , donc que est décroissante.
?
La suite est décroissante et minorée par 0 donc elle est convergente.
3. Pour tout entier naturel est décroissante et minorée par 0 donc elle est convergente.
non nul, on pose
est géométrique.
On précisera sa raison et son premier terme 
.
Pour tout entier on a :
Donc la suite 
est une suite géométrique de raison 
et de premier terme 
.
b. En déduire que, pour tout entier naturel on a :
Donc la suite est une suite géométrique de raison et de premier terme .
non nul,
On a pour tout entier :
Comme 
, on obtient 
.
4. Soit la fonction :
Comme , on obtient .
définie sur l'intervalle 
par 
.
a. Déterminer la limite de en 
.
On a une forme indéterminée, pour lever l'indétermination on factorise par 
.
Pour tout 
, 
.
(croissances comparées)
par soustraction de 
, 
.
Pour finir, par produit, 
.
b. En déduire la limite de la suite .
Pour tout , .
(croissances comparées)
par soustraction de , .
Pour finir, par produit, .
.
Pour tout entier , on écrit :
.
On a vu dans la question a. que , donc en composant avec l'exponentielle on obtient
.
, on écrit :
.
On a vu dans la question a. que , donc en composant avec l'exponentielle on obtient
.
