Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2013 aux Antilles

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 Dans tout ce qui suit, désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que :

 

 

1. Calculer la limite de en et en .
Limite en
et , donc par produit .
Limite en
On a une forme indéterminée, mais pour tout on peut écrire :
.
(limite connue).
.
Donc par somme .
On note la fonction dérivée de la fonction sur .
Démontrer que pour tout réel .
La fonction est dérivable sur et on a :
avec :
;
;

 

 

3. Dresser le tableau de variation de sur .
Pour tout , , donc le signe de est le même que celui de , ce qui donne le tableau de variations :

Partie B

On définit la fonction sur par
Et on note la courbe de la fonction dans un repère du plan.
1.a. Démontrer que si et seulement si .
Pour tout on a :
b. Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses en fonction du réel .
D'après la question précédente, le nombre de points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses coïncide avec le nombre de solutions de l'équation .
En exploitant le tableau de variations de la fonction on obtient les résultats suivants :
  • pour , aucune solution pour , aucun point d'intersection ;
  • pour , une unique solution pour , un unique point d'intersection ;
  • pour , deux solutions pour , deux points d'intersection ;
  • pour , une unique solution pour , un unique point d'intersection.
2. On a représenté ci-dessous les courbes , et (obtenues en prenant respectivement pour les valeurs , e et ).
Identifier chacune de ces courbes sur la figure en justifiant.
L'expression de est : , c'est donc une fonction affine, sa courbe représentative est une droite, donc c'est la courbe 2.
, dans ce cas , donc la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses et du coup la seule possibilité est la courbe 1.
Par élimination la courbe de est la courbe 3.
3. Etudier la position de la courbe par rapport à la droite d'équation suivant les valeurs du réel .
Il s'agit d'étudier le signe de .
Pour tout , et le signe de l'expression considérée est du signe contraire de . Ainsi pour tout , on a :
  • pour , soit , donc est situé au dessus de la droite ;
  • pour , et coïncident ;
  • pour , soit , donc est situé en dessous de la droite .
4.a. On appelle D la partie du plan comprise entre les courbes , l'axe (O) et la droite .
Hachurer D sur le la figure.
Dans cette question, désigne un réel positif, D la partie du plan comprise entre , l'axe (O) et la droite d'équation . On désigne par l'aire de cette partie du plan exprimée en unités d'aire.
Démontrer que pour tout réel a positif : .
En déduire la limite de quand tend vers .
A partir de l'étude précédente, on peut dire que la courbe est située au dessus de elle-même située au dessus de . Donc est située au dessus de et du coup pour tout réel , on a :
et par composition .
Du coup par somme : .

 

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