Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2013 aux Antilles
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On considère la suite
à termes complexes définie par : 
et, pour tout entier naturel 
, par
, on pose : 
, où 
est la partie réelle de 
et 
est la partie imaginaire de .
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites 
et 
.
Partie A
1. Donner
et 
.
On sait que 
, donc 
et 
.
b. Calculer , donc et .
, puis en déduire que 
et 
.
Du coup on a bien : 
et 
.
. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de
l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 
près).
L'algorithme affiche le terme de rang N de la suite 
.
.
Partie B
1. Pour tout entier naturel, exprimer 
en fonction de et .
En déduire l'expression de 
en fonction de et , et l'expression de 
en fonction de .
Donc on a pour tout entier naturel :
? En déduire l'expression de en fonction de , et déterminer la limite de la suite .
La relation 
montre que 
est une suite géométrique de raison
.
Son premier terme est .
Sa formule explicite est 
.
Comme 
, 
.
3.a. On rappelle que pour tous nombres complexes montre que est une suite géométrique de raison
.
Son premier terme est .
Sa formule explicite est .
Comme , .
et 
:
,
Pour tout entier naturel :
b. Pour tout entier naturel :
, on pose 
.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel ,
converge vers une limite que l'on déterminera.
On considère la propriété 
:
« 
»
Initialisation au rang 0
et 
, donc 
ce qui montre que 
est vraie.
Hérédité
On suppose que 
est vraie pour un entier 
: 
.
On remarque que la question a. précédente nous donne l'inégalité : 
En multipliant par 
l'inégalité de l'hypothèse de récurrence on a :
et du coup :
, ce
qui prouve que 
est vraie.
La propriété est donc héréditaire.
Ainsi est vraie au rang 0, elle est héréditaire, donc elle
est vraie pour tout entier naturel .
Comme 
est un module on a 
et donc pour tout entier naturel :
Comme 
, 
, donc
d'après le théorème des gendarmes, 
.
c. Montrer que, pour tout entier naturel :
»
et , donc ce qui montre que est vraie.
Hérédité
On suppose que est vraie pour un entier : .
On remarque que la question a. précédente nous donne l'inégalité :
En multipliant par l'inégalité de l'hypothèse de récurrence on a :
et du coup :
, ce
qui prouve que est vraie.
La propriété est donc héréditaire.
Ainsi est vraie au rang 0, elle est héréditaire, donc elle
est vraie pour tout entier naturel .
Comme est un module on a et donc pour tout entier naturel :
Comme , , donc
d'après le théorème des gendarmes, .
.
En déduire que la suite converge vers une limite que l'on déterminera.
Pour tout entier naturel :
donc 
On a : 
, car 
, puis :
, (fonction racine croissante sur 
)
Cette inégalité correspond exactement à 
.
Ainsi : 
, avec 
, donc d'après le
théorème des gendarmes, 
ce
qui entraîne que 
.
:
donc
On a : , car , puis :
, (fonction racine croissante sur )
Cette inégalité correspond exactement à .
Ainsi : , avec , donc d'après le
théorème des gendarmes, ce
qui entraîne que .
