Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de juin 2013 aux Antilles

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 On considère la suite à termes complexes définie par : et, pour tout entier naturel , par
Pour tout entier naturel , on pose : , où est la partie réelle de et est la partie imaginaire de .
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites et .

 

 

Partie A

1. Donner et .
On sait que , donc et .
b. Calculer , puis en déduire que et .
Du coup on a bien : et .
3. On considère l'algorithme suivant :
a. On exécute cet algorithme en saisissant . Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à près).
Calculs de la deuxième étape :
b. Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
L'algorithme affiche le terme de rang N de la suite .

 

 

Partie B

1. Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de et .
En déduire l'expression de en fonction de et , et l'expression de en fonction de .
Donc on a pour tout entier naturel :
2. Quelle est la nature de la suite ? En déduire l'expression de en fonction de , et déterminer la limite de la suite .
La relation montre que est une suite géométrique de raison .
Son premier terme est .
Sa formule explicite est .
Comme , .
3.a. On rappelle que pour tous nombres complexes et :
Montrer que pour tout entier naturel ,
Pour tout entier naturel :
b. Pour tout entier naturel , on pose .
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel ,
En déduire que la suite converge vers une limite que l'on déterminera.
On considère la propriété :
«  »
Initialisation au rang 0
et , donc ce qui montre que est vraie.
Hérédité
On suppose que est vraie pour un entier : .
On remarque que la question a. précédente nous donne l'inégalité :
En multipliant par l'inégalité de l'hypothèse de récurrence on a :
et du coup :
, ce qui prouve que est vraie.
La propriété est donc héréditaire.
Ainsi est vraie au rang 0, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel .
Comme est un module on a et donc pour tout entier naturel :
Comme , , donc d'après le théorème des gendarmes, .
c. Montrer que, pour tout entier naturel .
En déduire que la suite converge vers une limite que l'on déterminera.
Pour tout entier naturel :
donc
On a : , car , puis :
, (fonction racine croissante sur )
Cette inégalité correspond exactement à .
Ainsi : , avec , donc d'après le théorème des gendarmes, ce qui entraîne que .

 

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