Bac de maths

Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths de mai 2012 au Liban

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On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct .
1. Un triangle
a. On considère les points A, B et C d'affixes respectives , et .
Déterminer une mesure de l'angle .

 

 

On sait qu'un argument de est aussi une mesure de l'angle .
On a :
Donc et l'angle est droit.
b. En déduire que l'affixe du centre du cercle circonscrit au triangle ABC est .
D'après la question précédente, le triangle ABC est rectangle en B, donc le centre de son cercle circonscrit se trouve au milieu de l'hypoténuse [AC] et on a :
.

 

 

2. Une transformation du plan
On note la suite de nombres complexes, de terme initiale , et telle que:
Pour tout entier naturel , on note A le point d'affixe .
a. Montrer que les points A, A et A ont pour affixes respectives:
On remarquera que: AA, AB et AC.
b. Comparer les longueurs des segments , et .
Donc les longueurs de ces trois segments sont égales à 2.
c. Etablir que pour tout entier naturel , on a:
désigne le nombre complexe défini à la question 1.b.
Pour tout entier naturel , on a :
Dans le sujet original la question d. fait référence à la notion de rotation qui ne figure plus dans les programmes à partir de la rentrée 2012.
e. En remarquant que , justifier que, pour tout entier naturel , on a: .
Déterminer l'affixe du point .
D'après ce qui précède on a la relation : et pour tout entier naturel :
Donc , c'est à dire que .
On effectue maintenant la division euclidienne de 2012 par 6 : .
Du coup on a : .

 

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