Corrigé de l'exercice 3 de maths du bac S de juin 2011 en métropole
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Pour tout entier naturel
supérieur ou égal à 1, on désigne par 
la fonction définie sur 
par :
sa courbe représentative dans un repère orthogonal 
du plan.
PARTIE A
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe
où 
est un entier naturel non nul, sa tangente 
au point d'abscisse 1 et la courbe 
·
La droite coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées 
.
1.a. Déterminer les limites de la fonction
en 
et en 
.
Limite en 
et par composition 
Donc par produit 
.
Limite en 
On a une forme indéterminée, cependant on peut écrire pour tout 
: 
.
(par la propriété des croissances comparées).
b. Etudier les variations de la fonction
et par composition
Donc par produit .
Limite en
On a une forme indéterminée, cependant on peut écrire pour tout : .
(par la propriété des croissances comparées).
et dresser le tableau de variations de .
On obtient le tableau de variations suivant :
c. A l'aide du graphique, justifier que
est un entier supérieur ou égal à 2.
La courbe 
ne peut pas être la courbe représentative de 
, car ce que « l'on voit » n'est cohérent ni avec les limites à l'infini, ni avec les variations de la fonction 
et par conséquent 
.
2.a Démontrer que pour ne peut pas être la courbe représentative de , car ce que « l'on voit » n'est cohérent ni avec les limites à l'infini, ni avec les variations de la fonction
et par conséquent .
, toutes les courbes passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées.
On a pour tout entier 
: 
, donc toutes les courbes 
passent par O.
Par observation du dessin, on conjecture que le deuxième point commun est d'abscisse 1 et on calcule :
Donc toutes les courbes passent également par le point de coordonnées 
.
b. Vérifier que pour tout entier naturel : , donc toutes les courbes passent par O.
Par observation du dessin, on conjecture que le deuxième point commun est d'abscisse 1 et on calcule :
Donc toutes les courbes passent également par le point de coordonnées .
supérieur ou égal à 2, et pour tout réel 
,
semble admettre un maximum atteint pour 
.
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
En utilisant l'expression générale de la dérivée trouvée dans la question 2.b. on a :
qui s'annule en changeant de signe.
Ainsi 
s'annule pour 
en changeant de signe avec :
sur 
et 
sur 
.
Cela justifie que 
admet un maximum atteint pour .
4.a Démontrer que la droite qui s'annule en changeant de signe.
Ainsi s'annule pour en changeant de signe avec :
sur et sur .
Cela justifie que admet un maximum atteint pour .
coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées 
.
La droite 
() est tangente à la courbe au point d'abscisse 1 donc son coefficient directeur est :
La droite a donc une équation de la forme 
.
Pour déterminer 
, on écrit que passe par le point de coordonnées (voir question 2.a) et on obtient :
d'où 
.
Donc l'équation réduite de est 
.
Pour trouver le point d'intersection avec l'axe des abscisses il reste à résoudre l'équation :
Donc la droite coupe l'axe des abscisses en .
b. En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier () est tangente à la courbe au point d'abscisse 1 donc son coefficient directeur est :
La droite a donc une équation de la forme .
Pour déterminer , on écrit que passe par le point de coordonnées (voir question 2.a) et on obtient :
d'où .
Donc l'équation réduite de est .
Pour trouver le point d'intersection avec l'axe des abscisses il reste à résoudre l'équation :
Donc la droite coupe l'axe des abscisses en .
.
On sait que A, donc pour :
, donc pour :
PARTIE B
On désigne par
la suite définie pour tout entier supérieur ou égal à 1 par
Dans le sujet original, la première question de la partie B nécessitait l'utilisation d'une intégration
par parties qui n'est plus au programme à compter de l'année scolaire 2012-2013.
2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes 
comprises dans la bande définie par 
.
en décrivant la démarche.
Pour tout , sur l'intervalle 
, les fonctions 
sont positives , donc l'intégrale 
représente l'aire de la zone délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et la droite d'équation 
. Sur le dessin on voit que la zone est de plus en plus restreinte au fur et à mesure que croît, donc on conjecture que la suite 
est décroissante.
b. Démontrer cette conjecture.
, sur l'intervalle , les fonctions sont positives , donc l'intégrale représente l'aire de la zone délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et la droite d'équation . Sur le dessin on voit que la zone est de plus en plus restreinte au fur et à mesure que croît, donc on conjecture que la suite est décroissante.
Pour tout entier , on étudie le signe de 
:
Pour 
, 
et 
, parcontre 
, donc la fonction à intégrer est négative sur l'intervalle considéré, ce qui entraîne que
l'intégrale est également négative, autrement dit on a :
Pour tout entier , 
, ce qui prouve que la suite est décroissante.
c. En déduire que la suite , on étudie le signe de :
Pour , et , parcontre , donc la fonction à intégrer est négative sur l'intervalle considéré, ce qui entraîne que
l'intégrale est également négative, autrement dit on a :
Pour tout entier , , ce qui prouve que la suite est décroissante.
est convergente.
Tous les termes de la suite sont positifs puisque pour tout entier , est l'intégrale sur 
d'une fonction positive sur .
Ainsi la suite est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
d. Déterminer sont positifs puisque pour tout entier , est l'intégrale sur d'une fonction positive sur .
Ainsi la suite est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
.
Sur , 
, donc 
et 
et du coup :
avec :
Ainsi 
avec 
, donc d'après le théorème des gendarmes 
.
, , donc et et du coup :
avec :
Ainsi avec , donc d'après le théorème des gendarmes .
