Bac de maths

Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2012 en métropole

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Partie A

On désigne par la fonction définie sur l'intervalle par

 

 

1. Déterminer la limite de la fonction en .
  • et par inverse .
  • (termes de plus haut degré)
    et par composée .
Donc finalement par somme .

 

 

2. Démontrer que pour tout réel de l'intervalle , .
Dresser le tableau de variation de la fonction .
La fonction est dérivable sur et on a :
avec :
(formule du quotient)
Donc
Pour tout , et donc et on a le tableau de variations :
.
3. En déduire le signe de la fonction sur l'intervalle .
D'après l'étude précédente on a pour tout .

Partie B

Soit la suite définie pour tout entier strictement positif par
1. On considère l'algorithme suivant :
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur .
La boucle est executée 3 fois.
Itération 1 :
Itération 2 :
Itération 3 :
Donc la valeur exacte affichée est .
2. Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de lorsque l'utilisateur entre la valeur de .
3. Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à .
A l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite et son éventuelle convergence.
La suite semble décroissante et converger vers une valeur proche de 0,577.

Partie C

Cette partie permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite telle que pour tout entier strictement positif ,
1. Démontrer que pour tout entier strictement positif ,
est la fonction définie dans la partie A.
En déduire le sens de variation de la suite .
Pour tout entier on a :
or pour tout , on a vu que , donc pour tout entier , , ce qui prouve que la suite est strictement décroissante.
2.a. Soit un entier strictement positif.
Justifier l'inégalité .
En déduire que .
Démontrer l'inégalité (1).
Soit , pour tout on a :
Du coup en intégrant cette fonction positive (avec la borne basse inférieure à la borne haute) on obtient .
Par linéarité de l'intégrale en partant de l'inégalité qu'on vient de prouver on a :
soit
avec :
et donc on a bien : .
Pour terminer,
donc à partir de l'inégalité , on obtient .
b. Ecrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement par 1, 2, , et démontrer que pour tout entier strictement positif ,
Pour tout entier , on a les inégalités :
en ajoutant membre à membre ces inégalités on obtient :
.
c. En déduire que pour tout entier strictement positif .
On remarque que , donc en exploitant l'inégalité vue à la question précédente on a pour tout entier :
or pour tout entier , et , donc on a aussi .
3. Prouver que la suite est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.
La suite est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.

 

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