Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de juin 2013 en métropole

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 On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1 janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville.
L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :
Pour tout entier naturel , on note le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1 janvier de l'année et le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

 

 

1. Pour tout entier naturel , exprimer et en fonction de et .
D'après les éléments de l'énoncé on a :
2. Soit la matrice .
On pose , sont deux réels fixés et .
Déterminer, en fonction de et , les réels et tels que .
On calcule le produit :
Donc et
Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel , .
On peut donc en déduire que pour tout entier naturel , .

 

 

3. Soient les matrices et .
a. Calculer et . En déduire la matrice en fonction de Q.
On a :
.
Du coup .
b. Vérifier que la matrice est une matrice diagonale D que l'on précisera.
On calcule déja :
puis :
c. Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à , .
La propriété à montrer par récurrence pour tout entier est :
: « ».
Initialisation au rang 1
On sait que donc :
en mutipliant à gauche par , puis :
en multipliant à droite par
donc est vraie.
Hérédité
On suppose que est vraie avec c'est à dire qu'on a l'hypothèse de récurrence :
on cherche à montrer qu'alors est également vraie.
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel .
4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que
Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?
On détermine la limite de en :
Comme , .
Du coup et :
.
Cela signifie qu'à long terme de la population va résider en ville et sera à la campagne.

 

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