Bac de maths

Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de juin 2012 en Polynésie

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Le plan est rapporté à un repère orthonormal .
On considère les points B et C et la droite (D) d'équation .
On note la fonction définie sur dont la courbe représentative, notée , est donnée ci-dessous :
On suppose de plus qu'il existe deux réels et tels que :

 

 

1.a. Montrer que le couple est solution du système :
La courbe de la fonction passe par le point B, donc , ce qui donne :
De même la courbe passe par C, donc , donc on a :
Donc le couple est bien solution du système proposé.

 

 

b. En déduire que pour tout réel, .
On résout le système précédent pour déterminer et .
Donc on a bien .
2. Déterminer la limite de en .
et par composée .
Pour finir, par produit : .
3.a. Montrer que pour tout réel .
Pour tout réel , on a :
b. En déduire la limite de en .
On utilise l'expression précédente de et on pose .
, donc on a :
(par croissances comparées).
Finalement en multipliant par , .
4. Etudier les variations de la fonction . On donnera le tableau de variations complet.
La fonction est dérivable sur .
avec :
En utilisant la formule de dérivation d'un produit on obtient :
Pour tout , le signe de la dérivée est le même que celui de . Ce binôme du premier degré s'annule pour et on a le tableau de variations :
Détail du calcul de
.
5. Etudier la position relative de la courbe et de la droite (D).
Pour faire cette étude on regarde le signe de .
Etudions le signe de , en résolvant, par exemple, .
On a de même et .
Du coup on a le tableau de signes :
On en déduit que :
  • pour , la courbe est au dessus de (D),
  • pour , la courbe est en dessous de (D),
  • pour , la courbe est au dessus de (D),
  • pour et pour , les courbes et (D) se coupent.
6.a. On admet que .
Dans le sujet original, les élèves doivent calculer cette intégrale en utilisant une intégration par parties. Cette méthode d'intégration n'est plus au programme à compter de la rentrée 2012.
b. On désigne par A l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par les droites d'équations et , la droite (D) et la courbe .
Calculer A.
On a vu que sur , la courbe est située en dessous de (D), donc l'aire du domaine en unités d'aire vaut :

 

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