Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de juin 2013 en Polynésie
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Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution du nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013. En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés. Pour tout entier naturel
, on note 
le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la -ième année après 2013,
et 
le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la -ième année après 2013.
Ainsi, 
et 
.
Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante : pour tout entier naturel
,
.
On considère les matrices 
et 
.
Pour tout entier naturel , on note 
.
1.a. Déterminer 
.
En utilisant la relation fournie on obtient :
b. Vérifier que, pour tout entier naturel
, 
.
On calcule déjà :
En ajoutant P, on obtient :
,
ce qui correspond bien à 
En ajoutant P, on obtient :
,
ce qui correspond bien à
2. On note I la matrice
.
a. Calculer 
.
On a déjà : 
Puis : 
b. En déduire que la matrice
Puis :
est inversible et préciser son inverse.
D'après le calcul précédent la matrice est inversible et son inverse
est 
.
c. Déterminer la matrice U telle que est inversible et son inverse
est .
.
En utilisant l'inverse de vue ci-avant on obtient :
.
a. Justifier que, pour tout entier naturel , 
.
Pour tout entier naturel on a :
b. En déduire que, pour tout entier naturel on a :
, 
.
On peut faire une démonstration par récurrence de la propriété : 
:
« ».
Initialisation au rang 0
, donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
On suppose qu'à un rang q on a : 
On a alors :
Donc la propriété est vraie au rang 
, ce qui prouve l'hérédité.
La propriété est vraie au rang 0, elle est héréditaire, donc elle vraie pour tout entier
naturel.
4. On admet que, pour tout entier naturel :
« ».
Initialisation au rang 0
, donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
On suppose qu'à un rang q on a :
On a alors :
Donc la propriété est vraie au rang , ce qui prouve l'hérédité.
La propriété est vraie au rang 0, elle est héréditaire, donc elle vraie pour tout entier
naturel.
,
, exprimer 
en fonction de et en déduire la limite de la suite 
.
, du coup on obtient :
Comme 
et 
,
et
.
et 
,
D'après ce qui précéde, à long terme, le nombre d'abonnés de l'opérateur A va se stabiliser
autour de 380 milliers d'abonnés.
