Bac de maths

Corrigé de l'exercice 3 du bac S 2012 de maths du bac à Pondichéry

Cacher les corrigés

On considère les suites et définies pour tout entier naturel par :
1. Soit représentées ci-dessous les fonctions définies sur l'intervalle par
pour différentes valeurs de :

 

 

a. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite en expliquant la démarche.
Sur l'intervalle , les fonctions sont définies, continues et positives. Donc pour tout entier naturel , représente l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de , l'axe des abscisses, la droite d'équation et la droite d'équation .
Par observation du graphique, l'aire de ce domaine diminue lorsque augmente, ainsi on conjecture que la suite est décroissante.
b. Démontrer cette conjecture.
Pour tout entier naturel , on a :
Pour tout , le signe de est le même que celui de .
Donc pour tout , et donc soit ce qui prouve que la suite est décroissante.

 

 

2.a. Montrer que pour tout entier et pour tout nombre réel de l'intervalle :
Pour tout entier et pour tout , les quantités qui interviennent sont de façon évidente positives.
  • Comparaison de et :
    Comme , cette dernière quantité est négative donc on a :
    , soit
  • Comparaison de et
    Comme précédemment la quantité obtenue est négative pour donc :
    soit .
Finalement on a bien :
b. Montrer que les suites et sont convergentes et déterminer leur limite.
On intègre sur l'inégalité précédente (on rappelle que l'intégration conserve l'ordre à condition que la borne inférieure de l'intégrale, ici 0, soit inférieure à la borne supérieure, ici 1) :
Soit : .
Il reste à calculer :
.
On a :
  • et par composition , enfin par quotient
Donc finalement, .
Ainsi on a : avec , donc d'après le théorème des gendarmes les suite et convergent vers 0.
3.a. On admet que pour tout entier :
Dans le sujet original il faut établir la relation proposée en effectuant une intégration par parties. Depuis la rentrée 2012, la méthode d'intégration par parties ne figure plus dans les programmes.
b. En déduire .
En utilisant la relation précédente :
On a : et donc par somme .

 

Licence Creative Commons

Conditions Générales d'Utilisation