Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths d'avril 2014 à Pondichéry

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Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé .

Pour tout entier naturel , on note A le point d'affixe défini par :

On définit la suite par pour tout entier naturel .

1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe .

2.a. Montrer que la suite est géométrique de raison .

Pour tout entier naturel :

Donc et est bien géométrique de raison .

b. En déduire l'expression de en fonction de .

, car .

c. Que dire de la longueur OA lorsque tend vers ?

, or la raison de la suite géométrique est strictement comprise entre et , donc la longueur considérée tend vers 0.

3. On considère l'algorithme suivant :

Variables	entier naturel réel réel strictement positif
Entrée	Demander la valeur de
Traitement	prend la valeur 1 prend la valeur 0 Tant que prend la valeur prend la valeur Fin tant que
Sortie	Afficher

a. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour ?

Donc l'algorithme affiche la valeur 5.

b. Pour , on obtient . Quel est le rôle de cet algorithme ?

L'algorithme affiche le rang du premier terme de la suite qui est inférieur ou égal à .

4.a. Démontrer que le triangle est rectangle en .

Donc

Par la propriété de Pythagore cela montre que est rectangle en .

b. On admet que .

Déterminer les valeurs de pour lesquelles est un point de l'axe des ordonnées.

est sur l'axe des ordonnées équivaut à est imaginaire pur :

avec .

c. Compléter la figure donnée ci-dessous en représentant les points , , et .

Les traits de construction seront apparents.