Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths d'avril 2014 à Pondichéry
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Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé.
Trois marques X, Y et Z se partagent le marché.
Soit un entier naturel.
On note :
l'événement « la marque X est utilisée le mois »,
l'événement « la marque Y est utilisée le mois »,
l'événement « la marque Z est utilisée le mois ».
Les probabilités des évènements sont notées respectivement .
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
Un acheteur de la marque X le mois , a le mois suivant :
50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
40 % de chance d'acheter la marque Y,
10 % de chance d'acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Y le mois , a le mois suivant :
30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
50 % de chance d'acheter la marque X,
20 % de chance d'acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Z le mois , a le mois suivant :
70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
10 % de chance d'acheter la marque X,
20 % de chance d'acheter la marque Y.
1.a. Exprimer en fonction de et .
On admet que :
et que .
b. Exprimer en fonction de et .
En déduire l'expression de et en fonction de et .
La somme des probabilités des événement , et vaut 1, donc :
En remplaçant dans les expressions il vient :
2. On définit la suite par pour tout entier naturel .
On admet que, pour tout entier naturel , où
et .
Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : ), on estime que .
On considère l'algorithme suivant :
| Variables : | et des entiers naturels. |
| A, B et U des matrices | |
| Entrée et initialisation : | Demander la valeur de |
| prend la valeur 0 | |
| A prend la valeur | |
| B prend la valeur | |
| U prend la valeur | |
| Traitement : | Tant que |
| U prend la valeur | |
| prend la valeur | |
| Fin de Tant que | |
| Sortie : | Afficher U |
a. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour puis pour .
L'algorithme calcule .
Pour , l'algorithme affiche
Pour , l'algorithme affiche
b. Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril 2014 ?
Le mois d'avril 2014 correspond à .
D'après le calcul précédent , donc la probabilité demandée est 0,3868.
Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de en fonction de .
On note I la matrice et N la matrice .
3. On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.
a. Démontrer que équivaut à .
b. On admet que N est une matrice inversible et que .
En déduire que .
Puisque N est inversible :
Du coup :
4. On note la matrice telle que pour tout entier naturel .
a. Montrer que, pour tout entier naturel , .
Pour tout entier naturel :
b. On admet que .
Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai 2014 ?
Le mois de mai 2014 correspond à .
En utilisant la relation donnée :
Donc ; et
En résumé pour le mois de mai 2014 :
| Marque | Probabilité |
| X | 0,3794 |
| Y | 0,30853 |
| Z | 0,31207 |
