Bac de maths

Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 en Nouvelle-Calédonie

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Partie A : Restitution organisée de connaissances

Dans le sujet original, cette partie était consacrée aux équations différentielles qui ne sont plus au programme à partir de la session 2013.

Partie B

Cette partie a été modifiée pour être conforme au nouveau programme en vigueur pour la session 2013.
Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note sa vitesse à l'instant , où est exprimé en secondes et en mètres par seconde.
On suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire que .
On suppose de plus que la fonction ainsi définie est dérivable sur l'intervalle .
Un modèle simple permet de considérer que la fonction est définie par :

 

 

1.a. Déterminer le sens de variation de la fonction sur l'intervalle .
La fonction est définie et dérivable sur .
La fonction est de la forme avec , donc sa dérivée est de la forme , ce qui donne
La dérivée de la fonction constante 1 est nulle.
Finalement, on a : , soit .
Il est clair que la dérivée est strictement positive sur , donc la fonction est strictement croissante sur cet intervalle.

 

 

b. Déterminer la limite de la fonction en .
Limite de la fonction en :
  • (limite de référence)
  • Par composition :
  • Par addition :
  • Par produit :
Finalement,
2. On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération est inférieure à 0,1 m.s. Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.
On a déjà vu que , on résout l'inéquation :
Avec : secondes.
3. La distance parcourue par ce cycliste entre les instants , et est donnée par .
Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes.
On commence par déterminer un primitive de la fonction , définie et continue sur par :
On écrit .
La fonction est de la forme , donc une primitive est c'est à dire :
Par conséquent une primitive de est .
Une primitive de la fonction constante est la fonction .
Finalement une primitive de est la fonction définie par :
.
Avec la primitive trouvée on peut maintenant calculer l'intégrale :

 

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