Correction de l'exercice 3 du bac S 2011 de maths en Nouvelle-Calédonie
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Soit
la suite définie pour tout entier naturel 
par :
Partie A
Soit
la fonction définie sur 
par
l'équation 
.
On résout l'équation :
2. Étudier le sens de variation de la fonction
sur l'intervalle 
.
En déduire que si 
alors 
.
La fonction 
est définie et dérivable sur 
.
La fonction 
est de la forme 
avec 
,
donc sa dérivée est de la forme 
,
ce qui donne 
Donc 
Le signe de la dérivée est le même que celui de 
.
On remarque que 
Donc la dérivée est positive sur et la fonction est croissante sur cet intervalle.
On a le tableau de variations :
Avec 
.
D'après le tableau de variations, pour tout 
, 
.
est définie et dérivable sur .
La fonction est de la forme avec ,
donc sa dérivée est de la forme ,
ce qui donne
Donc
Le signe de la dérivée est le même que celui de .
On remarque que
Donc la dérivée est positive sur et la fonction est croissante sur cet intervalle.
On a le tableau de variations :
.
D'après le tableau de variations, pour tout , .
Partie B
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier
.
La propriété à montrer pour tout entier 
est :
«
».
Initialisation
Donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang 
, on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang 
.
D'après l'hypothèse de récurrence : et d'après la partie A,
.
Donc 
est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 
et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété
est vraie pour tout entier .
2. Étudier le sens de variation de la suite est :
«
».
Initialisation
Donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang , on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang .
D'après l'hypothèse de récurrence : et d'après la partie A,
.
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété
est vraie pour tout entier .
.
En utilisant la relation de récurrence de la suite on a :
Comme , 
, donc 
et 
,
donc la suite est décroissante.
3. Démontrer que la suite
Comme , , donc et ,
donc la suite est décroissante.
est convergente.
On admet que la limite 
de 
est solution de l'équation 
.
Déterminer .
La suite en question est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
La limite de la suite est solution de l'équation et comme cette équation n'a qu'une solution qui vaut 0 (voir
partie A), on en conclut que 
.
et comme cette équation n'a qu'une solution qui vaut 0 (voir
partie A), on en conclut que .
