Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 à Pondichéry
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Partie I
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes
et 
représentatives de deux fonctions 
et 
définies sur l'intervalle 
.
- l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes et .
- l'axe des abscisses est asymptote à la courbe .
- la fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle .
- la fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle .
- la limite quand
tend vers 
de 
est .
Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée. 1. La limite quand
tend vers 0 de 
est :
La bonne réponse est .
2. La limite quand .
tend vers de est :
La bonne réponse est 0.
Dans le sujet orignal la question 3. porte sur une notion désormais hors programme.
4. Le tableau de signes de
est :
Le bon tableau est le dernier proposé.
Partie II
On considère la fonction
définie sur l'intervalle par
aux bornes de son ensemble de définition.
Limite à droite en 0 :
Limite en :
2. Etudier les variations de la fonction -
(limite de référence)
-
(limite d'une constante)
-
(limite de référence) et par produit par 
on obtient : 
Limite en :
-
(limite de référence)
-
(limite d'une constante)
-
(limite de référence) et par produit par on obtient : 
sur l'intervalle .
Sur 
, la fonction 
est croissante, la fonction 
est croissante donc par addition la fonction est croissante.
On a donc le tableau de variations :
3. En déduire le signe de , la fonction est croissante, la fonction est croissante donc par addition la fonction est croissante.
On a donc le tableau de variations :
lorsque décrit l'intervalle .
On remarque que 
, compte tenu des variations de on a le tableau de signes :
4. Montrer que la fonction , compte tenu des variations de on a le tableau de signes :
définie sur l'intervalle par
sur cet intervalle.
On dérive la fonction :
avec : 
Les fonctions 
et 
sont dérivables sur 
, donc 
est également dérivable sur cet intervalle et on a :
Donc 
, ce qui prouve que est une primitive de sur .
5. Démontrer que la fonction :
avec :
Les fonctions et sont dérivables sur , donc est également dérivable sur cet intervalle et on a :
Donc , ce qui prouve que est une primitive de sur .
est strictement croissante sur l'intervalle 
.
On étudie le signe de 
sur :
Comme est une primitive de , 
, d'après ce qui précède on a 
sur , donc
est strictement croissante sur .
6. Montrer que l'équation sur :
Comme est une primitive de , , d'après ce qui précède on a sur , donc
est strictement croissante sur .
admet une unique solution dans l'intervalle qu'on
note 
.
La fonction est continue sur et d'après le tableau de variations, l'image de cet intervalle par est l'intervalle , or 
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation 
admet au moins une solution dans .
Comme de plus la fonction est strictement croissante sur l'intervalle considéré, la solution est unique.
7. Donner un encadrement de est continue sur et d'après le tableau de variations, l'image de cet intervalle par est l'intervalle , or donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation admet au moins une solution dans .
Comme de plus la fonction est strictement croissante sur l'intervalle considéré, la solution est unique.
d'amplitude 
.
En utilisant la technique de balayage avec la calculette on trouve 
.
.
Partie III
Soit
et 
les fonctions définies sur l'intervalle 
par :
et 
représentatives des fonctions et .
et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.
Pour trouver l'abscisse de A on résout :
Donc A
.
2. P est le point d'intersection des courbes
Donc A.
et . Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1).
Pour trouver l'abscisse du point P, on résout :
.
Compte tenu du signe de vu dans la question 3 de la partie II, cette équation a une unique solution sur qui est 
.
On vérifie que : 
et que 
, donc P
est bien le point d'intersection de 
et 
.
3. On note .
Compte tenu du signe de vu dans la question 3 de la partie II, cette équation a une unique solution sur qui est .
On vérifie que : et que , donc P est bien le point d'intersection de et .
l'aire du domaine délimité par les courbes , et les droites d'équations respectives
et 
(domaine grisé sur le graphique).
a. Exprimer l'aire à l'aide de la fonction définie dans la partie II.
On remarque que 
, donc sur 
, est au dessus de (voir le signe de dans la partie II), et l'aire grisée
s'obtient en calculant :
b. Montrer que , donc sur , est au dessus de (voir le signe de dans la partie II), et l'aire grisée
s'obtient en calculant :
.
Dans la partie II, on a vu qu'une primitive de sur est définie par 
, donc :
4. Soit sur est définie par , donc :
un nombre réel de l'intervalle 
. On note 
l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives 
et les courbes et (domaine hachuré sur le graphique).
On souhaite déterminer une valeur de telle que 
.
a. Montrer que 
.
Pour 
, sur 
, est au dessus de (toujours en remarquant que et avec le signe de la partie II), donc l'aire
hachurée est donnée par :
b. Conclure.
, sur , est au dessus de (toujours en remarquant que et avec le signe de la partie II), donc l'aire
hachurée est donnée par :
Pour trouver tel que 
, on résout l'équation :
soit 
.
On a vu dans la partie II que cette équation a une unique solution , donc 
équivaut à 
.
tel que , on résout l'équation :
soit .
On a vu dans la partie II que cette équation a une unique solution , donc équivaut à .
