Tu tombes sur deux équations avec deux inconnues, et tu dois trouver le couple (x;y) qui marche pour les deux. Voilà, c’est exactement ça un système d’équations. Mais avant de te lancer tête baissée dans des calculs interminables, il est essentiel de bien comprendre ce que tu cherches à accomplir.
Le système d’équations : définition et attentes au lycée
En mathématiques, un système d’équations est tout simplement un ensemble de plusieurs équations regroupées par une grande accolade sur la gauche. Les inconnues, très souvent notées x et y, représentent des valeurs précises que l’on cherche à déterminer. Résoudre ce système, c’est trouver l’unique couple-solution qui vérifie absolument toutes les équations à la fois.
Pour te donner un exemple concret, imagine que tu achètes 2 croissants et 3 pains au chocolat pour 5 euros. Le lendemain, dans la même boulangerie, tu achètes 3 croissants et 1 pain au chocolat pour 4 euros. Le prix du croissant (x) et le prix du pain au chocolat (y) sont tes inconnues. Le système permet de trouver ces prix sans y aller à tâtons.
Tu te demandes sûrement si tu es censé maîtriser cela sur le bout des doigts. Voici un petit repère pour savoir où tu te situes dans le programme scolaire :
- En 3ème : Tu découvres les tout premiers systèmes simples et tu t’inities doucement à la méthode de substitution.
- En Seconde : Les choses sérieuses commencent. Tu consolides la substitution, tu apprends la combinaison linéaire et tu découvres la résolution graphique.
- En 1ère et Terminale : Tu manipules des systèmes plus complexes, parfois avec des paramètres, et tu les utilises comme de simples outils pour résoudre des problèmes plus vastes (comme trouver l’équation d’une tangente, étudier une suite ou faire de la géométrie dans l’espace).
Substitution, combinaison ou graphique : le tableau pour choisir sans hésiter
Je sais à quel point on peut bloquer devant sa copie d’examen en se demandant par où commencer. Face à un système, tu as toujours le choix des armes. La vraie question n’est pas de savoir quelle méthode est la meilleure dans l’absolu, mais laquelle est la plus stratégique pour l’exercice que tu as sous les yeux.
Pour t’aider à trancher rapidement et gagner un temps précieux le jour du bac, voici un récapitulatif pratique des situations les plus courantes.
| Quand l’utiliser ? (Type de système) | Méthode conseillée | Pourquoi ce choix ? |
|---|---|---|
| Une inconnue déjà isolée ou facile à isoler (ex : y = 2x + 3 ou x + 4y = 7) | Substitution | Cela t’évite des multiplications inutiles et lance le calcul immédiatement sans créer de fractions complexes. |
| Des coefficients qui s’ajoutent ou se soustraient facilement (ex : 3x + 2y et 3x – 2y) | Combinaison linéaire | L’élimination d’une inconnue est presque instantanée par une simple addition des deux lignes. |
| Système avec des coefficients quelconques et complexes (ex : 4x + 7y = 2 et 5x – 3y = 9) | Combinaison linéaire | Les deux méthodes fonctionnent, mais la combinaison t’évitera de manipuler des fractions lourdes qui génèrent des erreurs. |
| Envie de visualiser la solution concrètement ou consigne explicite | Graphique | C’est l’approche idéale pour vérifier un résultat au brouillon ou pour modéliser des problèmes géométriques concrets. |
Garde bien en tête que ce tableau est un outil d’aide à la décision, pas une règle stricte. Si tu te sens beaucoup plus à l’aise avec une technique en particulier, utilise-la. L’essentiel au bac, c’est d’arriver au bon résultat avec un raisonnement solide et bien rédigé.
Résoudre par substitution : la méthode qui muscle le calcul littéral
La substitution est souvent la première méthode qu’on apprend au collège, car elle est très logique et intuitive. L’idée de base est simple : on exprime une lettre en fonction de l’autre, et on la remplace dans l’équation suivante. Prenons un exemple classique pour dérouler la méthode ensemble pas à pas : {x + 2y = 5 ; 3x − y = 1}.
Étape 1 : Isoler une inconnue dans l’équation la plus simple
Observe bien le système avant de foncer. On cherche l’équation où l’isolement demande le moins de calcul, c’est-à-dire celle où une inconnue n’a pas de coefficient visible (ce qui signifie que son coefficient est de 1). Ici, dans la première équation, le x est tout seul. C’est la situation parfaite.
On l’isole en passant le 2y de l’autre côté de l’égalité. L’équation devient alors : x = 5 − 2y.
Étape 2 : Remplacer cette expression dans l’autre équation
Maintenant que l’on sait ce que vaut x (il vaut 5 – 2y), on va injecter cette expression dans la deuxième équation. On remplace donc le x par (5 − 2y) dans l’équation 3x − y = 1. Cela nous donne : 3(5 − 2y) − y = 1.
Étape 3 : Résoudre l’équation à une seule inconnue
On se retrouve avec une équation classique du premier degré, avec seulement des y. Il suffit de développer et de résoudre pas à pas, sans sauter d’étape pour éviter les erreurs de signe :
- 15 − 6y − y = 1
- 15 − 7y = 1
- −7y = 1 − 15
- −7y = −14
- y = 2
Étape 4 : Revenir à la première inconnue et conclure
On a trouvé la valeur de y, il ne reste plus qu’à trouver celle de x. Reprends l’expression isolée de l’étape 1 (x = 5 − 2y) et remplace y par la valeur 2 que tu viens de calculer :
- x = 5 − 2 × 2
- x = 5 − 4
- x = 1
Le couple solution de ce système est donc (1 ; 2). Un petit test mental rapide pour vérifier : 1 + 2×2 fait bien 5, et 3×1 − 2 fait bien 1. Le contrat est rempli.
Résoudre par combinaison linéaire : la méthode qui élimine les inconnues
La combinaison linéaire (aussi appelée méthode par addition) fait souvent un peu peur au début, mais c’est une arme redoutablement efficace. Le but du jeu ? Modifier intelligemment les équations pour qu’en les additionnant verticalement, une inconnue disparaisse d’un coup. Reprenons exactement le même système pour comparer : {x + 2y = 5 ; 3x − y = 1}.
Étape 1 : Choisir l’inconnue à éliminer et trouver le multiplicateur
Décidons d’éliminer les y. Regarde attentivement les coefficients : la première équation possède +2y, la deuxième possède −y. Pour que ces termes s’annulent parfaitement en les additionnant, il faudrait avoir −2y dans la deuxième équation. Le multiplicateur magique est donc 2 : on va multiplier toute la deuxième ligne par 2.
Étape 2 : Multiplier les équations si nécessaire
La première équation ne bouge pas, on la réécrit telle quelle : x + 2y = 5.
La deuxième équation est multipliée par 2, de chaque côté du signe égal. Le calcul est 2 × (3x − y) = 2 × 1. Ce qui nous donne la nouvelle ligne : 6x − 2y = 2.
Étape 3 : Additionner membre à membre
Maintenant, on additionne la ligne 1 et la nouvelle ligne 2. On regroupe les x avec les x, les y avec les y, et les nombres avec les nombres :
- (x + 2y) + (6x − 2y) = 5 + 2
- 7x + 0y = 7
- 7x = 7
- x = 1
Les y se sont annulés complètement, c’était exactement l’objectif recherché.
Étape 4 : Remonter à la seconde inconnue
Maintenant qu’on a la valeur de x, on la remplace dans n’importe laquelle des équations de départ. Prenons la première, x + 2y = 5, car elle semble plus simple.
- 1 + 2y = 5
- 2y = 5 – 1
- 2y = 4
- y = 2
On retrouve bien le même couple (1 ; 2). Les deux méthodes donnent strictement le même résultat, ce qui est logique puisque la solution d’un système est unique.
La résolution graphique : quand les droites dessinent la réponse
Parfois, l’algèbre pure manque un peu de sens concret et on a du mal à se représenter ce qu’on calcule. La résolution graphique te permet de « voir » littéralement la solution. Il faut comprendre que chaque équation de ton système correspond en réalité à l’équation d’une droite dans un repère géométrique.
Transformer chaque équation en fonction affine
Pour pouvoir tracer nos droites facilement, il faut exprimer y en fonction de x, c’est-à-dire ramener l’équation sous la forme classique y = ax + b. Reprenons notre système fil rouge {x + 2y = 5 ; 3x − y = 1}.
Pour la première ligne : 2y = −x + 5, ce qui donne en divisant par deux y = −0,5x + 2,5.
Pour la seconde ligne : −y = −3x + 1, ce qui donne en inversant les signes y = 3x − 1.
Tracer les droites et lire le point d’intersection
Prends un repère orthonormé sur ta feuille à petits carreaux. Choisis deux points au hasard pour chaque droite à l’aide d’un petit tableau de valeurs, place-les et sors ta règle. Trace les deux droites en les prolongeant bien.
Le point exact où ces deux droites se coupent possède des coordonnées (x ; y). Ces coordonnées sont la solution géométrique de ton système ! Dans notre cas, tu verras que les droites se croisent pile sur le point (1 ; 2).
Les cas particuliers : droites parallèles ou confondues
La méthode graphique permet de comprendre visuellement pourquoi certains systèmes n’ont pas de solution classique :
- Aucune solution : Si tes deux équations donnent des droites strictement parallèles (elles ont le même coefficient directeur mais une ordonnée à l’origine différente), elles ne se croiseront jamais. Le système n’a donc aucune solution.
- Une infinité de solutions : Si tes deux équations représentent en fait la même droite (elles sont proportionnelles), elles sont confondues. Tous les points de la droite sont des solutions valables.
Aller plus loin : comment aborder un système à 3 inconnues ?
Au lycée, particulièrement en spécialité maths ou en option maths expertes, tu pourrais croiser des systèmes à trois inconnues (x, y et z) avec trois équations. Le principe reste exactement le même, mais demande plus de rigueur dans l’organisation des calculs.
La méthode la plus courante est de procéder par élimination successive (souvent inspirée de la méthode du pivot de Gauss). Tu utilises la combinaison linéaire entre la ligne 1 et la ligne 2 pour éliminer z. Puis tu fais de même entre la ligne 1 et la ligne 3 pour éliminer z à nouveau.
Tu obtiens alors un nouveau « sous-système » de deux équations avec seulement deux inconnues (x et y). Tu le résous avec les méthodes vues plus haut, puis tu remontes les étapes pour trouver z. C’est un excellent exercice pour tester ta concentration !
Appliquer les trois méthodes sur un vrai sujet du bac : Liban 2012
Rien ne vaut un véritable exercice d’examen pour se rassurer et valider ses acquis. Lors de l’épreuve du bac Liban 2012, les candidats tombaient sur ce système précis à résoudre au milieu d’un problème : {2x + y = 7 ; 3x − 2y = 0}. Voyons comment l’attaquer de trois manières différentes pour prouver que tout fonctionne le jour J.
Résolution par substitution
On observe le système et on isole y dans la première équation, car son coefficient est de 1. Cela donne : y = 7 − 2x.
On remplace ensuite ce y dans la seconde équation :
- 3x − 2(7 − 2x) = 0
- 3x − 14 + 4x = 0
- 7x − 14 = 0
- 7x = 14
- x = 2
On remonte pour trouver y en utilisant notre première expression : y = 7 − 2(2) = 7 − 4 = 3. Le couple solution est donc (2 ; 3).
Résolution par combinaison
On veut éliminer les y pour changer. La première équation a +y, la seconde a −2y. On multiplie toute la première ligne par 2 pour équilibrer. Elle devient : 4x + 2y = 14.
On additionne cette nouvelle ligne avec la seconde (3x − 2y = 0) :
- (4x + 2y) + (3x − 2y) = 14 + 0
- 7x = 14
- x = 2
On remplace x par 2 dans la première équation d’origine : 2(2) + y = 7, ce qui donne 4 + y = 7, et donc y = 3. Le résultat est confirmé.
Vérification graphique et interprétation
Si on transforme les équations en droites pour une lecture graphique, on obtient y = −2x + 7 pour la première et y = 1,5x pour la seconde. En les traçant soigneusement sur un graphique, on constate visuellement qu’elles se croisent exactement au point de coordonnées (2 ; 3).
Peu importe la méthode que tu choisis au bac, tant que les calculs sont justes, détaillés sur la copie et vérifiés. Prends la méthode avec laquelle tu es le plus rapide et le plus confiant. Pour approfondir la compréhension graphique, consulte la correction de l’exercice de tangente horizontale.
Les erreurs qui coûtent des points au bac (et comment les éviter)
Ce sont rarement les concepts mathématiques profonds qui font perdre des points sur ce type d’exercice, mais plutôt les petites étourderies de calcul sous l’effet du stress. Voici les pièges classiques à contourner le jour de l’épreuve :
- Oublier les parenthèses lors d’une substitution : Quand tu remplaces une lettre par une expression complète, encadre-la toujours avec des parenthèses. C’est la garantie de distribuer correctement les signes à l’étape suivante.
- Se tromper en multipliant un seul terme de l’équation : En méthode par combinaison, tu dois multiplier TOUS les termes de la ligne, y compris le résultat situé de l’autre côté du signe égal. Oublier de multiplier la constante finale fausse tout le système.
- Additionner au lieu de soustraire en combinaison : Regarde bien les signes de la colonne que tu veux éliminer. Si tu as +2y et +2y, il faut soustraire les lignes. Si tu as +2y et -2y, il faut les additionner.
- Confondre la solution avec un seul nombre : Un système à 2 inconnues te demande de trouver deux valeurs distinctes. La réponse finale doit toujours être présentée sous la forme d’un couple (x ; y), et non comme deux résultats isolés.
- Ne pas vérifier sa solution au brouillon : C’est pourtant le geste le plus rentable de l’épreuve. Prendre 30 secondes pour remplacer x et y dans les deux équations de départ permet de sécuriser tes points instantanément et de passer à la suite l’esprit tranquille.
Foire aux questions sur les systèmes d’équations
C’est quoi un système en maths ?
Un système en maths est un ensemble de deux équations (ou plus) qui contiennent les mêmes inconnues, notées x et y le plus souvent. Résoudre un système, c’est trouver la valeur de chaque inconnue qui vérifie toutes les équations en même temps. Le résultat final s’appelle le couple solution.
Quelle est la formule générale du système ?
Il n’existe pas une formule magique unique pour trouver la solution, mais une forme générale d’écriture utilisée au lycée : {ax + by = c ; dx + ey = f}. Les lettres a, b, d, e sont les coefficients multiplicateurs, c et f sont les constantes, tandis que x et y sont les inconnues à découvrir.
Comment résoudre un système par substitution ?
La substitution consiste à isoler une inconnue dans une équation (par exemple exprimer x en fonction de y), puis à remplacer son expression dans l’autre équation. Cela transforme le système en une seule équation classique à une inconnue. Une fois cette première inconnue calculée, on remonte à la seconde en utilisant l’expression isolée au départ.
Comment résoudre un système par combinaison linéaire ?
La combinaison linéaire consiste à multiplier les lignes entières par des coefficients choisis stratégiquement pour faire apparaître des termes opposés (comme 3x et -3x). On additionne ensuite les deux équations verticalement, ce qui fait disparaître une inconnue. On résout l’équation restante, puis on répète l’opération ou on substitue pour trouver la seconde valeur.
Comment résoudre un système à 2 inconnues ?
Pour résoudre un système à deux inconnues, on utilise au choix l’une des trois méthodes : substitution, combinaison linéaire ou résolution graphique. Les deux premières sont les plus utilisées et les plus précises au baccalauréat. On obtient à la fin un couple (x ; y) qu’il est indispensable de vérifier dans les équations d’origine.
Quel niveau scolaire pour apprendre les systèmes d’équations ?
Les systèmes d’équations s’étudient progressivement de la classe de 3ème jusqu’à la terminale. En 3ème, on découvre le concept et la méthode de substitution sur des cas simples. En seconde, on approfondit avec la combinaison linéaire et l’interprétation graphique. En première et terminale, les systèmes deviennent des outils intégrés dans des problèmes plus globaux.
