Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2015 en Amérique du nord
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Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.
Partie A : Contrôle avant la mise sur le marché
Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes.
La masse (exprimée en grammes) d'une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance et d'écart-type . Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de .
1. Calculer la probabilité de l'événement M : « la tablette est mise sur le marché ».
Il s'agit de calculer :
où suit la loi normale d'espérance et d'écart-type .
Du coup il s'agit de (résultat connu).
2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet événement atteigne 0,97.
Déterminer la valeur de pour que la probabilité de l'événement « la tablette est mise sur le marché » soit égale à 0,97.
On cherche pour que : .
En centrant et réduisant il vient :
avec qui suit la loi normale centrée réduite.
Du coup on cherche tel que :
ou encore par symétrie :
Avec la calculette la valeur telle que est .
Donc soit .
Partie B : Contrôle à la réception
Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7 %. On dit alors que la fève est conforme.
L'entreprise a trois fournisseurs différents : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30 % et le dernier apporte 20 % du stock.
Pour le premier, 98 % de sa production respecte le taux d'humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90 % de sa production est conforme, et le troisième fournit 20 % de fèves non conformes.
On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note l'événement « la fève provient du fournisseur », pour prenant les valeurs 1,2 ou 3, et C l'événement « la fève est conforme ».
1. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi à .
On peut faire un arbre pour y voir plus clair :
Nous calculons déja et pour cela nous utilisons la formule des probabilités totales avec la partition de l'univers par les événements F, F et F.
Du coup .
2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, l'entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elles souhaite que 92 % de fèves qu'elle achète soient conformes.
Quelle proportion de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?
Cette fois la situation est la suivante :
F et F forment une partition de l'univers et d'après la formule des probabilités totales :
Comme on veut que on résout :
Donc l'entreprise doit acheter 25 % de fèves au fournisseur 1 pour atteindre son objectif.
