Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths de juin 2015 en Amérique du nord
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Les parties A et B sont indépendants.
Dans un grand collège, 20,3 % des élèves sont inscrits à l'association sportive.
Une enquête a montré que 17,8 % des élèves de ce collège sont fumeurs.
De plus, parmi les élèves non fumeurs, 22,5 % sont inscrits à l'association sportive.
On choisit au hasard un élève de ce collège. On note :
S l'événement « l'élève choisi est inscrit à l'association sportive » ;
F l'événement « l'élève choisi est fumeur ».
Rappel des notations :
Si A et B sont deux évènements, désigne la probabilité de l'événement A et désigne la probabilité de l'événement A sachant que l'événement B est réalisé.
On note l'événement contraire de A.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
Partie A
1. D'après les données de l'énoncé, préciser les valeurs des probabilités et .
.
2. Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.
3. Calculer la probabilité de l'événement et interpréter le résultat.
.
C'est la probabilité de choisir un élève non fumeur et qui fait partie de l'association sportive.
4. On choisit au hasard un élève parmi ceux inscrits à l'association sportive. Calculer la probabilité que cet élève soit non fumeur.
5. On choisit au hasard un élève parmi les élèves fumeurs. Montrer que la probabilité que cet élève soit inscrit à l'association sportive est de 0,101.
Les événements F et forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales :
En remplaçant les probabilités par leurs valeurs il vient :
Donc :
Partie B
Une loterie, à laquelle tous les élèves du collège participent, est organisée pour la journée anniversaire de la création du collège. Quatre lots sont offerts. On admet que le nombre d'élèves est suffisamment grand pour que cette situation soit assimilée à un tirage avec remise.
On rappelle que 20,3 % de l'ensemble des élèves sont inscrits à l'association sportive.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que parmi les quatre élèves gagnants, il y ait au moins un qui soit inscrit à l'association sportive.
On tire au sort 4 élèves du collège en considérant que ce tirage se fait avec remise, on répète ainsi 4 expériences de Bernoulli identiques et indépendantes en considérant le succés : « Le gagnant du lot tiré au sort est inscrit à l'A.S. », sa probabilité étant 0,203.
Du coup, la variable aléatoire qui compte le nombre d'élèves qui sont inscrits à l'association sportive suit une loi binomiale de paramètres et .
