Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de juin 2015 en Amérique du nord
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Dans une réserve naturelle, on étudie l'évolution de la population d'une race de singes en voie d'extinction à cause d'une maladie.
Partie A
Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année.
Au 1 janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.
A l'aide d'une suite, on modélise la population au 1 janvier de chaque année.
Pour tout entier naturel , le terme de la suite représente le nombre de singes au 1 janvier de l'année .
On a ainsi .
1. Calculer l'effectif de cette population de singes :
a) au 1 janvier 2005 ;
b) au 1 janvier 2006, en arrondissant à l'entier.
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 15 % est 0,85.
Du coup en 2005 l'effectif de la population de singes est :
Et en 2006 :
2. Justifier que, pour tout entier naturel , on a .
D'une année à la suivante l'effectif de la population est multiplié par 0,85.
Donc pour tout entier naturel : .
Ainsi est une suite géométrique de premier terme et de raison , donc nous avons la formule explicite :
3. Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à l'aide d'un algorithme, au bout de combien d'années après le 1 janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à .
Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l'algorithme ci-dessous.
| L1 : | Variables : | un réel, un entier |
| L2 : | Initialisation : | prend la valeur 25 000 |
| L3 : | prend la valeur 0 | |
| L4 : | Traitement : | Tant que ...... faire |
| L5 : | prend la valeur ...... | |
| L6 : | prend la valeur ...... | |
| L7 : | Fin Tant que | |
| L8 : | Sortie : | Afficher |
| L1 : | Variables : | un réel, un entier |
| L2 : | Initialisation : | prend la valeur 25 000 |
| L3 : | prend la valeur 0 | |
| L4 : | Traitement : | Tant que faire |
| L5 : | prend la valeur | |
| L6 : | prend la valeur | |
| L7 : | Fin Tant que | |
| L8 : | Sortie : | Afficher |
4. Montrer que la valeur affichée après l'exécution de l'algorithme est 10.
La suite géométrique est décroissante puisque sont premier terme est positif et sa raison est comprise entre 0 et 1, de plus nous avons :
Donc :
pour tout :
pour tout : .
Le premier terme de la suite inférieur à 5 000, est le terme de rang 10.
Partie B
Au 1 janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l'ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu'il se produit 400 naissances.
On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l'aide d'une nouvelle suite. Pour tout entier naturel , le terme de la suite représente le nombre de singes au 1 janvier de l'année . On a ainsi .
1.a. Calculer et .
Si un quart des singes disparaît, il en reste les trois quart et les 400 nouveaux-nés viennent s'ajouter du coup :
.
.
b. Justifier que, pour tout entier naturel , on a .
L'année l'effectif de la population de singes est .
L'année l'effectif de la population de singes est .
L'année , il reste trois quart des singes de l'année , soit et il y a en plus 400 nouveaux-nés, donc :
2. On considère la suite définie pour tout entier naturel par .
a. Montrer que est une suite géométrique de raison . Préciser la valeur de .
Pour tout entier naturel :
Cela montre que est une suite géométrique de raison 0,75.
Son premier terme est :
b. Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de .
c. En déduire que pour tout entier naturel , on a .
Pour tout entier naturel :
Donc
d. Calculer la limite de la suite et interpréter ce résultat.
Comme , et par produit :
Finalement en ajoutant 1 600 : .
Au fil du temps l'effectif de la population de singes va tendre et se stabiliser vers .
