Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths de juin 2015 en Asie
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Valentine place un capital dans une banque le janvier 2014 au taux annuel de 2 %. A la fin de chaque année les intérêts sont ajoutés au capital, mais les frais de gestion s'élèvent à 25 € par an.
On note la valeur du capital au janvier de l'année .
Partie A
On considère l'algorithme ci-dessous :
| Initialisation : | Affecter à la valeur |
| Traitement : | Saisir une valeur pour |
| Tant que faire | |
| Affecter à la valeur | |
| Affecter à la valeur | |
| Fin Tant que | |
| Sortie : | Afficher |
1.a. On saisit la valeur 1 900 pour . Pour cette valeur de , recopier le tableau ci-dessous et le compléter, en suivant pas à pas l'algorithme précédent et en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
| Valeur de | 0 | ||
| Valeur de | 1 900 |
| Valeur de | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Valeur de | 1 900 | 1 913 | 1 926,26 |
b. Quel est le résultat affiché par l'algorithme ? Dans le contexte de l'exercice, interpréter ce résultat.
Donc l'algorithme affiche 8.
L'algorithme affiche le nombre d'années nécessaires pour que le capital acquis dépasse 2 000 €.
2. Que se passerait-il si on affectait la valeur 1 250 à ?
En faisant de nouveau tourner l'algorithme on a :
| Valeur de | 0 | 1 | 2 |
| Valeur de | 1 250 | 1 250 | 1 250 |
et ainsi de suite ; c'est à dire que reste constant, du coup ne pourra jamais être supérieur ou égal à 2 000 et donc l'algorithme ne s'arrêtera pas.
Partie B
Valentine a placé 1 900 € à la banque au 1er janvier 2014.
On a donc .
1. Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel , on a :
.
L'année le capital est et l'année :
le capital augmente de 2 %, le coefficient multiplicateur associé a une telle augmentation est 1,02 donc le capital devient .
les frais de gestion sont à retrancher donc : .
Finalement :
2. Soit la suite définie, pour tout nombre entier naturel , par .
a. Montrer que la suite est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout entier naturel :
Cela montre que est une suite géométrique de raison 1,02.
Son premier terme est :
b. Soit un nombre entier naturel ; exprimer en fonction de .
En déduire que, pour tout nombre entier naturel , on a :
.
Pour tout entier naturel :
De on déduit :
3. Montrer que la suite est croissante.
Comme et ; la suite géométrique est croissante et du coup soit est également croissante.
4. Déterminer, par la méthode de votre choix, le nombre d'années nécessaires pour que la valeur du capital dépasse 2 100 €.
On résout :
avec .
Donc il faut 14 ans pour que la valeur du capital dépasse 2 100 €.
