Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths de juin 2015 dans les centres étrangers
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Depuis le 1 janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service. La société Bicycl'Aime est chargée de l'exploitation et de l'entretien du parc de vélos.
La commune disposait de 200 vélos au 1 janvier 2015.
La société estime que, chaque année, 15 % des vélos sont retirés de la circulation à cause de dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service.
On modélise cette situation par une suite où représente le nombre de vélos de cette commune au 1 janvier de l'année .
1. Déterminer le nombre de vélos au 1 janvier 2016.
Au 1 janvier 2016 il y a :
15 % des vélos qui sont retirés donc il en reste 85 % soit .
42 nouveaux vélos sont mis en service.
Donc au total il y a vélos.
2. Justifier que la suite est définie par et, pour tout entier naturel , par :
Au premier janvier 2015 il y a 200 vélos donc .
L'année , il y a vélos.
L'année :
15 % des vélos sont retirés ; donc il en reste 85 % soit ;
42 nouveaux vélos sont mis en service.
Donc
3. On donne l'algorithme suivant :
| Variables : | N entier |
| U réel | |
| Initialisation : | N prend la valeur 0 |
| U prend la valeur 200 | |
| Traitement : | Tant que |
| U prend la valeur | |
| N prend la valeur | |
| Fin tant que | |
| Sortie : | Afficher U |
a. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité.
Quel nombre obtient-on à l'arrêt de l'algorithme ?
| U | 200 | ||||
| N | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Condition | Vrai |
| U | 200 | 212 | 222 | 231 | 238 |
| N | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Condition | Vrai | Vrai | Vrai | Vrai | Faux |
b. Interpréter la valeur du nombre U obtenue à l'issue de l'exécution de cet algorithme.
Le nombre U obtenu à l'issue de l'exécution de cet algorithme représente , c'est à dire le nombre de vélos l'année .
4. On considère la suite définie pour tout entier naturel par .
a. Montrer que la suite est géométrique de raison et de premier terme .
Pour tout entier naturel :
Cela montre que la suite est une suite géométrique de raison 0,85.
Son premier terme est :
b. Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de .
On a directement :
c. En déduire que, pour tout entier naturel , on a .
De la relation on déduit et en « injectant » la formule explicite de il vient :
d. Calculer la limite de la suite et interpréter ce résultat.
Comme on a : et du coup :
.
En ajoutant 280 on obtient : .
Cela signifie qu'au fil du temps le nombre de vélos va évoluer et se stabiliser vers 280.
5. La société Bicycl'Aime facture chaque année à la commune 300 € par vélo en circulation au 1 janvier.
Déterminer le coût total pour la période du 1 janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite étant exprimé avec un nombre entier.
Il s'agit tout simplement de calculer :
Le coût total pour la période du 1 janvier 2015 au 31 décembre 2019 est de 330 900 €.
