Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac ES de maths de mai 2015 au Liban
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Pour chacune des situations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
1. On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction définie sur l'intervalle .
Proposition 1 : L'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
Sur l'intervalle ; le maximum de la fonction est -1 ; donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur l'intervalle ; la fonction est strictement croissante et continue (la flèche oblique dans le tableau indique par convention la continuité de la fonction) avec :
Comme ; d'après le théorème de la valeur intermédiaire l'équation admet une unique solution sur .
Au final l'équation a bien une unique solution sur
L'affirmation est vraie.
2. On considère une fonction définie et dérivable sur l'intervalle et on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction , fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .
Proposition 2 : La fonction est strictement décroissante sur l'intervalle .
Par lecture graphique on remarque que sur ; et , donc est strictement croissante sur .
L'affirmation est fausse.
Proposition 3 : La fonction est concave sur l'intervalle .
La fonction est décroissante sur , ce qui montre que est concave sur l'intervalle considéré.
L'affirmation est vraie.
3. La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction définie sur l'intervalle par .
Proposition 4 : La fonction est une fonction de densité de probabilité sur l'intervalle .
La fonction est positive et continue sur et on a :
Donc est bien une densité de probabilités sur .
L'affirmation est vraie.
