Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de mai 2015 au Liban
Cacher les corrigés
Une retenue d'eau artificielle contient 100 000 m d'eau le 1 juillet 2013 au matin.
La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l'eau par jour. De plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue 500 m pour l'irrigation des cultures aux alentours.
Cette situation peut être modélisée par une suite .
Le premier juillet 2013 au matin, le volume d'eau en m est .
Pour tout entier naturel supérieur à 0, désigne le volume d'eau en m au matin du -ième jour qui suit le 1 juillet 2013.
1.a. Justifier que le volume d'eau au matin du 2 juillet 2013 est égal à 95 500 m.
Après l'évaporation de la journée il reste :
m.
Après la libération du soir pour l'irrigation il reste :
m
Donc
b. Déterminer le volume d'eau , au matin du 3 juillet 2013.
On réitère les mêmes opérations qu'à la question a. :
(évaporation)
(irrigation)
Donc .
c. Montrer que, pour tout entier naturel , on a .
Le volume d'eau un jour donné est .
Pour avoir le volume d'eau le jour suivant on prend en compte l'évaporation et l'irrigation :
après évaporation :
après irrigation :
Donc
2. Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d'eau, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.
| L1 | Variables : | est un nombre réel |
| L2 | est un entier naturel | |
| L3 | Traitement : | Affecter à la valeur 100 000 |
| L4 | Affecter à la valeur 0 | |
| L5 | Tant que | |
| L6 | Affecter à la valeur ...... | |
| L7 | Affecter à la valeur ...... | |
| L8 | Fin Tant que | |
| L9 | Sortie : | Afficher ...... |
| L1 | Variables : | est un nombre réel |
| L2 | est un entier naturel | |
| L3 | Traitement : | Affecter à la valeur 100 000 |
| L4 | Affecter à la valeur 0 | |
| L5 | Tant que | |
| L6 | Affecter à la valeur | |
| L7 | Affecter à la valeur | |
| L8 | Fin Tant que | |
| L9 | Sortie : | Afficher N |
3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par .
a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison . Préciser son premier terme.
Pour tout entier naturel :
Cela montre que est une suite géométrique de raison 0,96.
Son premier terme est :
b. Exprimer en fonction de .
c. En déduire que, pour tout entier naturel , .
D'où
4.a. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation .
ATTENTION : Changement de sens de l'inégalité car puisque .
.
Donc l'ensemble des entiers naturels solutions de l'inéquation sont les entiers supérieurs ou égaux à 54.
b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
La retenue d'eau sera vide le matin du 54ème jour.
