Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de mai 2015 au Liban

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Une retenue d'eau artificielle contient 100 000 m d'eau le 1 juillet 2013 au matin.

La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l'eau par jour. De plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue 500 m pour l'irrigation des cultures aux alentours.

Cette situation peut être modélisée par une suite .

Le premier juillet 2013 au matin, le volume d'eau en m est .

Pour tout entier naturel supérieur à 0, désigne le volume d'eau en m au matin du -ième jour qui suit le 1 juillet 2013.

1.a. Justifier que le volume d'eau au matin du 2 juillet 2013 est égal à 95 500 m.

  • Après l'évaporation de la journée il reste :

    m.

  • Après la libération du soir pour l'irrigation il reste :

    m

Donc

b. Déterminer le volume d'eau , au matin du 3 juillet 2013.

On réitère les mêmes opérations qu'à la question a. :

  • (évaporation)

  • (irrigation)

Donc .

c. Montrer que, pour tout entier naturel , on a .

Le volume d'eau un jour donné est .

Pour avoir le volume d'eau le jour suivant on prend en compte l'évaporation et l'irrigation :

  • après évaporation :

  • après irrigation :

Donc

2. Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d'eau, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.

L1  Variables : est un nombre réel
L2   est un entier naturel
L3  Traitement :Affecter à la valeur 100 000
L4  Affecter à la valeur 0
L5  Tant que
L6      Affecter à la valeur ......
L7      Affecter à la valeur ......
L8  Fin Tant que
L9  Sortie :Afficher ......

L1  Variables : est un nombre réel
L2   est un entier naturel
L3  Traitement :Affecter à la valeur 100 000
L4  Affecter à la valeur 0
L5  Tant que
L6      Affecter à la valeur
L7      Affecter à la valeur
L8  Fin Tant que
L9  Sortie :Afficher N

3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par .

a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison . Préciser son premier terme.

Pour tout entier naturel :

Cela montre que est une suite géométrique de raison 0,96.

Son premier terme est :

b. Exprimer en fonction de .

c. En déduire que, pour tout entier naturel , .

D'où

4.a. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation .

ATTENTION : Changement de sens de l'inégalité car puisque .

.

Donc l'ensemble des entiers naturels solutions de l'inéquation sont les entiers supérieurs ou égaux à 54.

b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

La retenue d'eau sera vide le matin du 54ème jour.

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