Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de juin 2015 en Polynésie
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Les techniciens d'un aquarium souhaitent régler le distributeur automatique d'un produit visant à améliorer la qualité de l'eau dans un bassin.
La concentration recommandée du produit, exprimée en mg.l (milligramme par litre), doit être comprise entre 140 mg.l et 180 mg.l.
Au début du test, la concentration du produit dans ce bassin est de 160 mg.l.
On estime que la concentration du produit baisse d'environ 10 % par semaine.
Afin de respecter les recommandations portant sur la concentration du produit, les techniciens envisagent de régler le distributeur automatique de telle sorte qu'il déverse chaque semaine une certaine quantité de produit.
Les techniciens cherchent à déterminer cette quantité de façon à ce que :
la concentration du produit soit conforme aux recommandations sans intervention de leur part, pendant une durée de 6 semaines au moins ;
la quantité de produit consommée soit minimale.
Partie A
Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 10 mg.l.
On s'intéresse à l'évolution de la concentration chaque semaine. La situation peut être modélisée par une suite , le terme donnant une estimation de la concentration du produit, en mg.l, au début de la -ième semaine.
On a .
1. Justifier que, pour tout entier naturel , .
La semaine , la concentration est .
elle baisse de 10 % dans la semaine, donc elle passe à ;
on ajoute du produit pour faire augmenter la concentration de 10 mg.l, donc .
Du coup la semaine , la concentration est :
2. Soit la suite définie pour tout entier naturel par :
.
a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison et que .
Pour tout entier naturel :
Cela prouve que la suite est une suite géométrique de raison 0,9.
De plus :
b. Exprimer en fonction de .
On a directement :
c. En déduire que pour tout entier naturel , .
Pour tout entier naturel :
donc
3.a. Déterminer la limite de la suite quand tend vers l'infin Justifier la réponse.
Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée.
Comme ; et par produit : .
En ajoutant 100, il vient : .
Au fil des semaines la concentration du produit évolue et se stabilise vers 100 mg.l.
b. Au bout de combien de semaines la concentration devient-elle inférieure à 140 mg.l ?
On cherche les entiers naturels tels que :
A la dernière étape, l'inégalité change de sens car on divise par .
Donc la concentration devient inférieure à 140 mg.l à partir de 4 semaines.
4. Le réglage envisagé du distributeur répond-il aux attentes ?
Non ! A partir de la quatrième semaine la concentration n'est plus dans la fourchette recommandée soit avant les six semaines voulues.
Partie B
Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 12 mg.l.
Que penser de ce réglage au regard des deux conditions fixées par les techniciens ?
Avec les mêmes notations que dans la partie A, on travaille maintenant avec la suite définie par la relation de récurrence :
Voici les 7 premiers termes de cette nouvelle suite :
On remarque déjà que durant la période des 6 semaines, la concentration du produit est conforme aux recommandations.
Par contre en terme de consommation de produit il est possible de faire mieux en diminuant l'ajout hebdomadaire de telle façon qu'on arrive à .
Donc le réglage du distributeur ne répond pas à la deuxième attente.
