Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths d'avril 2016 à Pondichéry
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En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant 5 700 euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d'un montant de 5 700 euros, au taux mensuel de 1,5 %. Par ailleurs, la mensualité fixée à 300 euros est versée par l'emprunteur à l'organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5 % puis baisse de 300 euros.
Le premier versement a lieu le 25 février 2016.
On note 
le capital restant dû en euros juste après la 
-ième mensualité ( entier naturel non
nul). On convient que 
.
Les résultats seront donnés sous forme approchée à 0,01 près si nécessaire.
1.
a) Démontrer que 
, capital restant dû au 26 février 2016 juste après la première mensualité, est de 5 485,50 euros.
Le capital restant dû :
augmente de 1,5 %, soit
puis baisse de 300 euros, soit
Donc 
b) Calculer 
.
Pour obtenir on réitère les mêmes opérations à partir de :
augmentation de 1,5 % :
baisse de 300 euros :
Donc 
2. On admet que la suite 
est définie pour tout entier naturel par :
On considère l'algorithme suivant :
a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne.
Tableau complété :
b) Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ?
Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
La valeur affichée à la fin de l'exécution de l'algorithme est 6.
Dans le contexte de l'exercice le capital dû passe en dessous de 4 500 euros au bout du sixième mois, soit le 26 juillet 2016.
3. Soit la suite 
définie pour tout entier naturel par 
.
a) Montrer que pour tout entier naturel , on a :
Pour tout entier naturel , on a :
b) En déduire que pour tout entier naturel , on a :
La question précédente montre que la suite est une suite géométrique de raison 1,015.
Son premier terme est : 
.
Du coup l'expression de 
en fonction de est :
.
Enfin de 
, on tire 
et en remplaçant par sa formule explicite il vient :
4. A l'aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :
a) Démontrer qu'une valeur approchée du capital restant dû par l'emprunteur au 26 avril 2017 est 2 121,68 euros.
Le rang de la suite associé au 26 avril 2017 est 
.
Il s'agit donc de calculer :
b) Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt.
On cherche tel que 
, ce qui revient à résoudre l'équation :
avec 
Donc le remboursement intégral du prêt se fera en 23 mois.
c) Quel sera le montant de la dernière mensualité ?
Nous avons :
, c'est à dire qu'au 22
mois le capital restant dû est de 157,84 euros.
Le montant de la dernière mensualité au 23 mois sera 
euros.
d) Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera le coût total de son achat ?
La personne a remboursé 300 euros par mois pendant 22 mois et a versé une dernière mensualité de 
euros, donc le coût total de l'achat est :
euros.
