Corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de mai 2012 en Amérique du nord
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Partie A
On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé
,
la courbe représentative 
d'une fonction 
définie et dérivable sur l'intervalle 
.
On nomme A le point de d'abscisse 
et B le point de d'abscisse 0.
- La fonction est strictement croissante sur l'intervalle
et strictement décroissante sur l'intervalle 
.
- La tangente à au point A est horizontale.
- La droite
est la tangente à au point B et a pour équation 
.
.
Au point A d'abscisse , la tangente est horizontale donc 
.
b. Déterminer le signe de , la tangente est horizontale donc .
.
La fonction est strictement croissante sur l'intervalle 
, donc pour tout 
, 
est négatif
et en particulier est négatif.
c. Interpréter graphiquement est strictement croissante sur l'intervalle , donc pour tout , est négatif
et en particulier est négatif.
, puis donner sa valeur.
est le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe de au point d'abscisse 0. Or on sait que l'équation
de cette tangente est , donc 
( est le coefficient en facteur de 
dans l'équation de la tangente, c'est le coefficient directeur de la droite en question).
2. Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l'intégrale
exprimée en unité d'aire.
représente l'aire délimitée par la courbe de , les droites d'équation 
, 
et l'axe des abscisses.
Par observation du graphique on a : 
.
Partie B
La fonction de la Partie A a pour expression 
.
1. Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point A de la courbe .
Le point A est d'abscisse , donc l'ordonnée de 
est :
.
2. Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction , donc l'ordonnée de est :
.
sur l'intervalle .
Pour déterminer le sens de variation de on détermine la fonction dérivée.
Pour tout 
, on a :
avec :
; 
et 
; 
Donc 
On sait que pour tout 
, 
, donc le signe de est le même
que celui de 
et on en déduit le tableau de variation de :
3. Montrer que la fonction on détermine la fonction dérivée.
Pour tout , on a :
avec :
; et ;
Donc
On sait que pour tout , , donc le signe de est le même
que celui de et on en déduit le tableau de variation de :
définie sur l'intervalle par 
est une primitive de .
Pour vérifier que est une primitive de , on dérive :
avec :
; 
et ;
Donc 
Cela prouve que est une primitive de .
4.a. Calculer la valeur exacte de l'intégrale est une primitive de , on dérive :
avec :
; et ;
Donc
Cela prouve que est une primitive de .
.
On sait d'après le cours que :
b. Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question 2) de la partie A.
On a 
avec 
, donc le résultat est cohérent.
avec , donc le résultat est cohérent.
