Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths de mai 2014 en Amérique du nord
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Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l'objectif de le louer.
Pour cela, il s'intéress à la rentabilité locative de cet appartement.
Les trois parties peuvent être traitées independamment.
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à .
Partie A
On considère deux types d'appartements :
les appartements d'une ou deux pièces notés respectivement T1 et T2 ;
les appartements de plus de deux pièces.
Une étude des dossiers d'appartements loués dans un secteur a montré que :
35 % des appartements loués sont de type T1 ou T2 ;
45 % des appartements loués de type T1 ou T2 sont rentables ;
30 % des appartements loués, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont rentables.
On choisit un dossier au hasard et on considère les événements suivants :
T : « l'appartement est de type T1 ou T2 » ;
R : « l'appartement en location est rentable » ;
est l'événement contraire de T et est l'événement contraire de R.
1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.
2. Montrer que la probabilité qu'un appartement loué soit rentable est égale à 0,3525.
Les événements T et forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
3. Calculer la probabilité que l'appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu'il est rentable.
.
Partie B
On considère la variable aléatoire égale au nombre d'appartements rentables dans un échantillon aléatoire de 100 appartements loués.
On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler à une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne et d'écart-type .
A l'aide de la calculatrice :
1. Calculer la probabilité .
2. Calculer la probabilité qu'au moins 45 appartements parmi les 100 appartements loués soient rentables.
Il s'agit de calculer :
Partie C
L'investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer.
Le responsable de cette agence lui affirme que 60 % des appartements loués par son agence sont rentables.
Pour vérifier son affirmation, on a prélevé au hasard 280 dossiers d'appartements loués. Parmi ceux-ci 120 sont rentables.
1. Déterminer la fréquence observée sur l'échantillon prélevé.
La fréquence observée est .
2. Peut-on valider l'affirmation du responsable de cette agence ?
Justifier cette réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
Pour calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique associé à la situation on a : (taille de l'échantillon) et (fréquence à tester).
On vérifie les conditions usuelles d'utilisation :
; donc
; donc
; donc .
Du coup l'intervalle à considérer est :
Soit .
On remarque que la fréquence observée , donc on ne peut pas valider l'affirmation du responsable de l'agence.
