Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths de mai 2014 en Amérique du nord

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Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l'objectif de le louer.

Pour cela, il s'intéress à la rentabilité locative de cet appartement.

Les trois parties peuvent être traitées independamment.

Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à .

Partie A

On considère deux types d'appartements :

Une étude des dossiers d'appartements loués dans un secteur a montré que :

On choisit un dossier au hasard et on considère les événements suivants :

T : « l'appartement est de type T1 ou T2 » ;

R : « l'appartement en location est rentable » ;

est l'événement contraire de T et est l'événement contraire de R.

1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.

2. Montrer que la probabilité qu'un appartement loué soit rentable est égale à 0,3525.

Les événements T et forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales on a :

3. Calculer la probabilité que l'appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu'il est rentable.

.

Partie B

On considère la variable aléatoire égale au nombre d'appartements rentables dans un échantillon aléatoire de 100 appartements loués.

On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler à une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne et d'écart-type .

A l'aide de la calculatrice :

1. Calculer la probabilité .

2. Calculer la probabilité qu'au moins 45 appartements parmi les 100 appartements loués soient rentables.

Il s'agit de calculer :

Partie C

L'investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer.

Le responsable de cette agence lui affirme que 60 % des appartements loués par son agence sont rentables.

Pour vérifier son affirmation, on a prélevé au hasard 280 dossiers d'appartements loués. Parmi ceux-ci 120 sont rentables.

1. Déterminer la fréquence observée sur l'échantillon prélevé.

La fréquence observée est .

2. Peut-on valider l'affirmation du responsable de cette agence ?

Justifier cette réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

Pour calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique associé à la situation on a : (taille de l'échantillon) et (fréquence à tester).

On vérifie les conditions usuelles d'utilisation :

  • ; donc

  • ; donc

  • ; donc .

Du coup l'intervalle à considérer est :

Soit .

On remarque que la fréquence observée , donc on ne peut pas valider l'affirmation du responsable de l'agence.

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