Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de mai 2014 en Amérique du nord
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Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée où désigne le nombre d'arbres au cours de l'année .
En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.
1.a. Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.
On calcule
b. Montrer que la suite est définie par et pour tout entier naturel par la relation :
De l'année à l'année :
95 % des arbres sont conservés :
3 000 arbres sont plantés : + 3 000
Du coup :
2. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :
a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,95.
Pour tout entier naturel :
Cela prouve que la suite est une suite géométrique de raison 0,95.
Son premier terme est .
b. Exprimer en fonction de .
Comme la suite est géométrique on a :
c. En déduire que pour tout entier naturel , on a :
Comme , il vient :
En remplaçant par la formule explicite de la question précédente :
.
d. Déterminer la limite de la suite .
Comme ,
Donc et en multipliant par 10 000 :
e. Interpréter le résultat précédent.
Au fil du temps le nombre d'arbres dans la forêt va évoluer et se stabiliser vers 60 000.
3.a. Résoudre dans l'ensemble des entier naturels l'inéquation .
avec .
Comme est entier le résultat final est .
b. Interpréter ce résultat.
Le rang de la première année à partir de laquelle le nombre d'arbres dans la forêt dépasse 57 000 est 24, soit en 2037.
4.a. On souhaire écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang .
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.
Algorithme 1 :
| Variables : |
| A, U, N sont des nombres |
| Début de l'algorithme : |
| Saisir la valeur de A |
| N prend la valeur 0 |
| U prend la valeur 50 000 |
| Tant que UA |
| N prend la valeur N+1 |
| U prend la valeur 0,95*U+3000 |
| Fin tant que |
| Afficher N |
| Fin algorithme |
Algorithme 2 :
| Variables : |
| U, I, N sont des nombres |
| Début de l'algorithme : |
| Saisir la valeur de N |
| U prend la valeur 50 000 |
| Pour I variant de 1 à N |
| U prend la valeur 0,95*U+3000 |
| Fin pour |
| Afficher U |
| Fin algorithme |
Algorithme 3 :
| Variables : |
| U, I, N sont des nombres |
| Début de l'algorithme : |
| Saisir la valeur de N |
| U prend la valeur 50 000 |
| Pour I variant de 1 à N |
| Afficher U |
| U prend la valeur 0,95*U+3000 |
| Fin pour |
| Afficher U |
| Fin algorithme |
Le bon algorithme est l'algorithme 3.
L'algorithme 1 n'affiche qu'une seule valeur à la fin et en plus la valeur de N.
L'algorithme 2 n'affiche également qu'une valeur : la dernière valeur de U.
b. Lorsque , l'algorithme 1 affiche la valeur 24.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
L'algorithme 1 détermine le premier rang pour lequel .
La valeur 24 retournée correspond bien au résultat trouvé par le calcul dans la question 3.
