Corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de juin 2012 dans les centres étrangers
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PARTIE A
Soit
la fonction définie sur 
par 
où 
et 
sont deux réels.
On note 
la fonction dérivée de .
1. Montrer que pour tout nombre réel 
, 
.
avec :
Donc 
et 
. En déduire et .
, donc 
, soit 
.
, donc 
soit 
.
PARTIE B
Dans cette partie, on admettra que
et .
Donc pour tout réel , 
.
Les questions 1 et 2 du sujet original portent sur la notion de limite. Cette notion ne fait plus partie des programmes.
3. Etudier le sens de variation de sur .
En utilisant la formule de la dérivée trouvée dans la partie A on a :
Pour tout 
, 
, du coup le signe de la dérivée est le même que celui de 
et on a le tableau de variations :
.
Pour tout , , du coup le signe de la dérivée est le même que celui de et on a le tableau de variations :
.
PARTIE C
Une entreprise produit centaines d'objets chaque semaine.
Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est défini sur l'intervalle 
par la fonction étudiée dans la partie B.
1. Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira le résultat à l'euro près.
D'après l'étude de la fonction vue dans la partie A, le coût de production maximal est
milliers d'euros soit environ 1889 euros.
2. Démontrer que la fonction milliers d'euros soit environ 1889 euros.
définie sur par 
est une primitive de la fonction sur ce même intervalle.
Pour vérifier que est une primitive de on calcule 
.
avec :
Donc est bien une primitive de .
3.a. Calculer est une primitive de on calcule .
avec :
Donc est bien une primitive de .
. On arrondira le résultat à 
près.
Le calcul précédent correspond à la valeur moyenne de sur 
.
Donc on peut dire qu'en moyenne le coût de production hebdomadaire est d'environ 966 euros.
sur .
Donc on peut dire qu'en moyenne le coût de production hebdomadaire est d'environ 966 euros.
