Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de juin 2013 dans les centres étrangers
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On considère la fonction
définie sur l'intervalle 
par :
On appelle
sa courbe représentative dans un repère.
1. Montrer que pour tout réel de l'intervalle 
, on a :
La fonction proposée est dérivable sur et se présente sous la forme
avec :
; 
; 
Donc : 
et se présente sous la forme
avec :
;
;
Donc :
2.a. Etudier le signe de
sur l'intervalle .
Pour tout 
, 
, donc le signe de est le même que celui
de 
.
Le binome s'annule pour 
et comme le coefficient
de 
est négatif il est positif pour 
et négatif pour 
.
b. En déduire le tableau de variations de , , donc le signe de est le même que celui
de .
Le binome s'annule pour et comme le coefficient
de est négatif il est positif pour et négatif pour .
sur l'intervalle .
la dérivée seconde de sur .
On admet que, pour tout réel de l'intervalle , on a :
est une fonction convexe sur 
.
Pour tout , 
, donc le signe de 
est le même que celui
de 
.
C'est encore un binôme du premier degré, qui cette fois s'annule pour 
.
On a donc le signe de :
Pour tout 
, 
, donc est convexe sur cet intervalle.
b. Montrer que le point de , , donc le signe de est le même que celui
de .
C'est encore un binôme du premier degré, qui cette fois s'annule pour .
On a donc le signe de :
, , donc est convexe sur cet intervalle.
d'abscisse 
est un point d'inflexion.
D'après l'étude de signe précédente s'annule en changeant de signe en , donc
la courbe a un point d'inflexion au point d'abscisse 4,8.
4. On considère la fonction s'annule en changeant de signe en , donc
la courbe a un point d'inflexion au point d'abscisse 4,8.
définie sur par :
est une primitive de sur .
La fonction proposée est dérivable sur et on a :
Cela prouve que est une primitive de sur l'intervalle considéré.
b. Calculer proposée est dérivable sur et on a :
Cela prouve que est une primitive de sur l'intervalle considéré.
