Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de juin 2013 dans les centres étrangers
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Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.
1. Paul se connecte sur le site. La durée
(en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle 
.
a. Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes.
Sachant que suit une loi uniforme sur on a :
b. Calculer l'espérance mathématique de suit une loi uniforme sur on a :
. Interpréter ce résultat.
Comme suit une loi uniforme sur on a :
E
Cela signifie qu'en moyenne les quatre joueurs sont réunis au bout de 70 secondes.
suit une loi uniforme sur on a :
E
Cela signifie qu'en moyenne les quatre joueurs sont réunis au bout de 70 secondes.
2. L'équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée
(en minute) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale 
.
a. Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire .
Comme suit une loi , l'espérance de est 120 et sa variance
est 400. Donc l'écart-type de vaut 
.
b. Montrer l'équivalence :
suit une loi , l'espérance de est 120 et sa variance
est 400. Donc l'écart-type de vaut .
par 
.
Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire .
La variable aléatoire est la variable aléatoire centrée et réduite associée à .
Comme suit une loi normale, suit la loi normale standard 
, c'est
à dire de moyenne 0 et d'écart-type 1.
d. Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près.
est la variable aléatoire centrée et réduite associée à .
Comme suit une loi normale, suit la loi normale standard , c'est
à dire de moyenne 0 et d'écart-type 1.
d'après la question b.
Avec la calculette on peut au choix calculer 
(loi 
)
ou 
(loi normale standard).
Dans les deux cas on trouve environ 0,932.
