Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de juin 2014 dans les centres étrangers
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L'entreprise PrintFactory fabrique, en grande quantité, des cartouches d'encre noire pour imprimante.
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
1. On considère la variable aléatoire qui, à chaque cartouche produite, associe sa durée de vie exprimée en nombre de pages.
On admet que suit la loi normale d'espérance et d'écart-type .
a. Affirmation 1 : Environ 95 % des cartouches produites ont un durée de vie comprise entre 230 et 270 pages.
On sait .
Ici cela donne :
Donc l'affimation est VRAIE.
b. Affirmation 2 : Moins de 50 % des cartouches produites ont une durée de vie inférieure à 300 pages.
On a déjà , donc .
L'affirmations est FAUSSE.
2. L'entreprise PrintFactory a amélioré son procédé industriel et déclare que 80 % des cartouches produites ont une durée de vie supérieure à 250 pages.
Un contrôleur désigné par l'entreprise effectue un test en prélevant de façon aléatoire un échantillon de cartouches dans la production.
Dans un échantillon de taille 1000, le contrôleur a obtenu 240 cartouches vides d'encre avant l'impression de 250 pages.
Affirmation 3 : Le contrôleur valide la déclaration de l'entreprise.
On peut utiliser un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % pour tester l'affirmation de l'entreprise.
On a :
(taille de l'échantillon), donc ;
(proportion de l'hypothèse à tester), donc , soit
, donc
Les conditions usuelles d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont satisfaites, et un tel intervalle est donné par :
soit
Le contrôleur observe dans son échantillon une proportion de cartouches qui durent plus de 250 pages.
Comme , il rejette l'hypothèse, donc il ne peut pas valider la déclaration de l'entreprise.
L'affirmation est FAUSSE.
3. L'entreprise PrintFactory souhaite connaître l'opinion de ses 10 000 clients quant à la qualité d'impression de ses cartouches.
Pour cela, elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau 0,95 avec un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 4 %.
Affirmation 4 : L'entreprise doit interroger au moins un quart de ses clients.
L'amplitude d'un tel intervalle de confiance est .
Donc pour avoir une amplitude inférieure ou égale à 4 % on doit avoir :
Comme 2500 représente un quart des 10 000 clients, l'affirmation est VRAIE.
