Corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths de mai 2012 au Liban
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Partie 1 : Etude d'une fonction
On considère la fonction
définie sur 
par 
.
1. En écrivant que 
, déterminer la limite de en 
.
et 
donc
par produit 
.
Par soustraction de 8, on obtient 
.
2. Montrer que
où 
désigne la fonction dérivée de sur .
Pour tout 
, 
avec :
Donc 
, avec :
Donc
3. Dresser le tableau de variations complet de de
sur .
Pour , 
et 
, donc 
et ne s'annule que pour 
.
On a alors le tableau de variations :
4.a. Montrer que l'équation , et , donc et ne s'annule que pour .
On a alors le tableau de variations :
admet sur une unique solution 
.
La fonction est définie, continue et strictement croissante sur 
avec :
, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation 
admet une unique solution
.
b. Montrer que est définie, continue et strictement croissante sur avec :
, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution
.
.
En utilisant la calculette :
et 
, ce qui entraîne que 
.
c. En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de 
et , ce qui entraîne que .
en fonction des valeurs de 
sur .
On a directement le tableau de signes :
5.a. Montrer que la fonction
définie sur par 
est une primitive de sur .
On calcule la dérivée de la fonction :
Donc est bien une primitive de sur .
b. Calculer la valeur exacte de :
Donc est bien une primitive de sur .
.
Partie 2 : Application à une situation économique
Une entreprise fabrique milliers d'objets avec appartenant à 
.
La fonction de la 1
partie modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaine d'euros.
Pour une quantité donnée, si est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si est négatif, l'entreprise subit une perte.
En utilisant les résultats de la 1 partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :
1. A partir de combien d'objets produits, l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ?
On a vu que 
pour 
et que 
, donc l'entreprise commence à réaliser des bénéfices à partir de 2041 objets.
2. L'entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d'objets.
pour et que , donc l'entreprise commence à réaliser des bénéfices à partir de 2041 objets.
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur
(on donnera le résultat arrondi à l'euro près).
La valeur moyenne du bénéfice sur 
correspond à la valeur moyenne de la fonction sur soit :
.
Donc la valeur moyenne du bénéfice est d'environ 20458 euros.
correspond à la valeur moyenne de la fonction sur soit :
.
Donc la valeur moyenne du bénéfice est d'environ 20458 euros.
