Corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de mai 2012 au Liban

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Dans un salon de coiffure pour femmes, le coloriste propose aux clientes qui viennent pour une coupe deux prestations supplémentaires :

une coloration naturelle à base de plantes qu'il appelle « couleur-soin »,
des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, qu'il appelle « effet coup de soleil ».

Ce coloriste a fait le bilan suivant sur ces prestations :

On considère une de ces clientes.

On notera C l'événement « la cliente souhaite une "couleur-soin" ».

On notera M l'événement « la cliente souhaite un "effet coup de soleil" ».

1. Calculer la probabilité de M sachant C notée

La formule des probabilités conditionnelles donne :

2. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation.

3. Calculer la probabilité que la cliente ne souhaite ni une « couleur-soin », ni un « effet coup de soleil ».

En utilisant la formule des probabilités composées on a :

4. Montrer que la probabilité de l'évènement M est égale à 0,42.

Les événements C et

constituent un système complet d'événements et d'après la formule des probabilités totales on a :

5. Les évènements C et M sont-ils indépendants ?

Donc

ce qui montre que M et C ne sont pas indépendants.

6. Une « couleur-soin » coûte 35 euros et un « effet coup de soleil » coûte 40 euros.

a. Recopier puis compléter sans justifier le tableau suivant donnant la loi de probabilité du gain en euros du coloriste par client :

b. Donner l'espérance E de cette loi.

c. Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Combien le coloriste doit-il facturer la réalisation d'un « effet coup de soleil » pour que l'espérance de gain par client augmente de 15% ?

L'espérance à atteindre est :

On cherche le prix

du « coup de soleil » tel que :

Donc le coloriste doit facturer le « coup de soleil » 51 euros.