Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths de mai 2013 au Liban

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Partie A

On considère la suite définie par et pour tout entier naturel ,

 

 

1. On considère la suite définie pour tout entier naturel par .
a. Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Pour tout entier naturel on a :
Donc la suite est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme :
.
b. Exprimer en fonction de .
La formule explicite de la suite géométrique déterminée à la question précédente est :
c. En déduire que pour tout entier naturel .
On remplace par sa formule explicite ce qui donne :

 

 

2. Déterminer la limite de la suite et en déduire celle de la suite .
car .
Par produit, .
En ajoutant 12 ; on obtient .

Partie B

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :
1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite où désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année .
  • D'une année à l'autre 10 % des habitants « diparaissent » donc il en reste 90 % soit ;
  • il y a 1 200 nouveaux habitants soit 1,2 milliers.
Du coup le nombre d'habitants l'année est égal à : .
En outre on sait qu'en 2012 la ville compte 10 milliers d'habitants et que désigne le nombre d'habitants l'année donc .
Ainsi la suite correspond bien à celle donnée dans la partie A.
2. Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année .
On complète la boucle pour avec la relation de récurrence permettant de calculer les termes successifs de la suite :
3.a. Résoudre l'inéquation .
On remarquera qu'on a changé le sens de la dernière inégalité quand on a divisé par car puisque .
et comme est un entier on conclut que l'ensemble des solutions de l'inéquation est constitué des nombres entiers supérieurs ou égaux à 14.
b. En donner une interprétation.
On a résolu , on a donc déterminé le rang de l'année à partir de laquelle la population de Bellecité dépasse 11,5 milliers d'habitants et on a trouvé que c'est à partir de .

 

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