Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de mai 2013 au Liban
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Partie A
On considère la fonction
définie sur l'intervalle 
par :
1. On désigne par
la dérivée de la fonction .
Montrer que, pour tout 
.
On peut écrire 
avec :
; 
; 
Donc 
avec :
;
;
Donc
2. On considère la fonction
définie sur par
est strictement croissante sur .
On étudie les variations de en calculant la dérivée de la fonction :
Pour tout 
; 
et 
donc 
ce qui entraîne que
est strictement croissante sur l'intervalle considéré et on a le tableau de variations :
b. Montrer que l'équation en calculant la dérivée de la fonction :
Pour tout ; et donc ce qui entraîne que
est strictement croissante sur l'intervalle considéré et on a le tableau de variations :
possède une unique solution 
dans .
La fonction est continue et strictement croissante sur avec : 
et 
, donc d'après
le théorème de la valeur intermédiaire l'équation 
admet une unique solution dans .
c. Donner un encadrement à l'unité de est continue et strictement croissante sur avec : et , donc d'après
le théorème de la valeur intermédiaire l'équation admet une unique solution dans .
.
En utilisant la calculette on trouve : 
d. En déduire le tableau de signes de
sur .
D'après ce qui précède on obtient facilement le tableau de signes :
3. En déduire le tableau de variations de
sur .
On remarque que pour tout , 
; donc le signe de
est le même que celui de et on a le tableau de variations :
Pour 
on est bien embêté car on a seulement l'encadrement , mais en calculant 
et 
on remarque que
, donc on peut prendre 
.
4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :
a. , ; donc le signe de
est le même que celui de et on a le tableau de variations :
Pour on est bien embêté car on a seulement l'encadrement , mais en calculant et on remarque que
, donc on peut prendre .
.
b. 
.
Par lecture du tableau de variations précédent :
-
posséde deux solutions : une dans 
et l'autre dans 
;
-
posséde une seule solution dans .
Partie B
Une entreprise fabrique chaque mois
vélos de course, avec appartenant à l'intervalle .
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de vélos de course, est donné par la fonction définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.
D'après l'étude précédente sur le minimum de la fonction est obtenu en , donc il faut produire 25 ou 26 vélos.
Pour trancher entre les deux possibilités on compare et :
et 
Donc pour avoir le coût moyen minimum l'entreprise doit fabriquer 26 vélos.
le minimum de la fonction est obtenu en , donc il faut produire 25 ou 26 vélos.
Pour trancher entre les deux possibilités on compare et :
et
Donc pour avoir le coût moyen minimum l'entreprise doit fabriquer 26 vélos.
