Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de mai 2014 au Liban
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La médiathèque d'une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré 2500 inscriptions en 2013.
Elle estime que, chaque année, 80 % des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 400 nouveaux adhérents.
On modélise cette situation par une suite numérique .
On note le nombre d'inscrits à la médiathèque en 2013 et représente le nombre d'inscrits à la médiathèque pendant l'année .
1.a. Calculer et .
b. Justifier que, pour tout entier naturel , on a la relation :
De l'année à l'année :
80 % de renouvellement : ,
400 nouveaux adhérents :
donc
2. On pose, pour tout entier naturel , .
a. Démontrer que la suite est une suite géométrique de premier terme et de raison .
Pour tout entier naturel :
ce qui montre que est géométrique de raison .
Son premier terme est .
b. En déduire que le terme général de la suite est :
La formule explicite pour la suite géométrique est .
Comme , on a .
Donc finalement : .
c. Calculer la limite de la suite .
On a : donc et
Du coup en ajoutant 2000 : .
d. Que peut-on en déduire pour le nombre d'adhérents à la médiathèque si le schéma d'inscription reste le même au cours des années à venir.
Au fil des années le nombre d'adhérents décroit et va venir se stabiliser vers 2000.
3. On propose l'algorithme suivant :
| Variables : | N est un entier |
| A est un réel | |
| Initialisation : | N prend la valeur 0 |
| A prend la valeur 2500 | |
| Traitement : | Tant que |
| A prend la valeur | |
| N prend la valeur | |
| Fin du Tant que | |
| Sortie : | Afficher N |
a. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
La boucle « Tant que » s'exécute tant que , donc elle s'arrête dès que , soit .
Du coup l'algorithme retourne le rang de la première année où le nombre d'adhérents est inférieur ou égal à 2050.
b. A l'aide de la calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme et interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice.
Il n'y a pas besoin de programmer l'algorithme dans la calculette : en tabulant la suite on trouve 11.
Donc à partir de pour la première fois le nombre d'adhérents est inférieur à 2050.
