Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths de mars 2014 en Nouvelle-Calédonie
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On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville. Chaque année, 30 % des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club. De plus, chaque année, 10 % des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent. On appelle le nombre d'années d'existence du club. On note la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année et la proportion de la population qui n'est pas inscrite. La première année de fonctionnement du club (année « zéro »), 20 % des habitants de la ville se sont inscrits. On a donc .
1. Soit un entier naturel. Que vaut la somme ?
(100 % de la population).
2.a. Justifier que, pour tout entier naturel , .
L'année , la proportion des inscrits au club se décompose en :
- 30 % des inscrits de l'année précédente :
- 10 % des non adhérents de l'année précédente :
b. En déduire que, pour tout entier naturel , .
donc
On sait que , en remplaçant par on obtient :
3. Pour tout entier naturel , on pose .
Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout entier naturel :
Donc est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme .
4. Déterminer le sens de variation de la suite .
est une suite géométrique,
son premier terme est strictement positif,
sa raison est strictement comprise entre 0 et 1,
donc est strictement décroissante.
5. Montrer que pour tout entier , .
Comment la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique évolue-t-elle au cours des années ?
La formule explicite de la suite géométrique est .
Pour tout entier naturel , , donc soit :
.
Comme , .
La proportion de la ville inscrite au club de gymnastique tend vers 0,125 soit 12,5 %.
