Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths de mars 2014 en Nouvelle-Calédonie

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Soit la fonction définie sur l'intervalle par

soit sa fonction dérivée et soit sa fonction dérivée seconde.

1. Montrer que, pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle et .

avec

; et ;

avec ; et ;

2. Etudier les variations de la fonction sur l'intervalle .

On cherche le signe de sur .

Pour tout ,

Le signe de est le même que celui de .

Or , donc pour tout , (et ne s'annule que pour ) donc est strictement décroissante sur l'intervalle considéré.

3. Justifier que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .

Montrer que : .

Tableau de variations

;

est continue et strictement décroissante sur

or donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire il existe un unique tel que .

et , du coup , donc .

4.a. Soit T la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse 3.

Montrer que T a pour équation .

On sait que l'équation réduite de T est :

où et

donc soit

b. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite T et de l'axe des abscisses.

On résout :

c. Etudier le signe de sur l'intervalle et en déduire la convexité ou la concavité de sur cet intervalle.

Pour tout ;

Le signe de est le même que celui de .

; donc pour tout , .

Donc la fonction est concave sur l'intervalle considéré.

d. En déduire que :

On a donc : .

est concave donc est placée en dessous de la tangente T.

En particulier :

Un dessin pour comprendre :

5. On considère l'algorithme suivant :

a. Faire fonctionner l'algorithme précédent avec en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de .

b. Interpréter les résultats trouvés pour et à la fin de l'étape 3.

C'est l'algorithme de dichotomie qui permet de trouver une valeur approchée de .

A la fin de l'étape 3, on obtient : , ce qui donne un encadrement de d'amplitude : .