Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac ES de maths de juin 2014 en Polynésie
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La suite est définie pour tout nombre entier naturel par :
Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang .
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.
Algorithme 1 :
| Variables : |
| U est un nombre réel |
| i et N sont des nombres entiers |
| Début |
| Saisir une valeur pour N |
| U prend la valeur 5 |
| Pour i de 0 à N faire |
| Affecter à U la valeur U+1 |
| Fin Pour |
| Afficher U |
| Fin |
Algorithme 2 :
| Variables : |
| U est un nombre réel |
| i et N sont des nombres entiers |
| Début |
| Saisir une valeur pour N |
| Pour i de 0 à N faire |
| U prend la valeur 5 |
| Afficher U |
| Affecter à U la valeur U+1 |
| Fin Pour |
| Fin |
Algorithme 3 :
| Variables : |
| U est un nombre réel |
| i et N sont des nombres entiers |
| Début |
| Saisir une valeur pour N |
| U prend la valeur 5 |
| Pour i de 0 à N faire |
| Afficher U |
| Affecter à U la valeur U+1 |
| Fin Pour |
| Fin |
L'algorithme 1, n'affiche qu'une seule valeur à la fin qui correspond à .
L'algorithme 2, affiche bien valeurs, mais comme U est réinitialisé à chaque tour de boucle, l'algorithme affiche fois le nombre 5.
L'algorithme 3 convient.
2. On saisit la valeur 9 pour N, l'affichage est le suivant :
| 5 | 3,5 | 2,75 | 2,375 | 2,1875 | 2,0938 | 2,0469 | 2,0234 | 2,0117 | 2,0059 |
Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?
La suite semble décroissante.
Partie B
On introduit une suite auxiliaire définie, pour tout entier naturel , par :
1. Montrer que est une suite géométrique.
Préciser sa raison et son premier terme .
Pour tout entier naturel on a :
Cela montre que est une suite géométrique de raison .
Son premier terme est .
2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel , on a :
On a déjà la formule explicite de la suite géométrique :
Pour tout entier naturel :
Ensuite de la relation , on tire : .
Donc on a :
3. Etudier les variations de la suite .
Comme , le sens de variation de est le même que celui de .
La suite est une suite géométrique à termes positifs dont la raison est tel que , donc la suite est décroissante.
Il s'ensuit que est également décroissante.
4. Déterminer la limite de la suite .
Comme , on a :
et par somme :
.
5. A partir de quel rang a-t-on : ?
On résout dans l'ensemble des entiers naturels :
où
Donc c'est à partir du rang 22 qu'on a .
