Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac ES de maths d'avril 2014 à Pondichéry

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Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.

Le centre ouvre ses portes le 1 avril 2013 avec 115 oiseaux.

Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1 janvier d'une année restent présents le 1 janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.

On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1 janvier des années suivantes. La situation peut être modélisée par une suite admettant pour premier terme , le terme donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année .

1. Calculer et . Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ?

On arrondit les résultats à l'entier le plus proche.

2. Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1 janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme.

a. Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'algorithme 3 permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1 janvier de l'année .

Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

ALGORITHME 1 :

Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début :
  Saisir une valeur pour N
  Affecter 115 à U
  Pour i de 1 à N faire
    Affecter  à U
  Fin Pour
  Afficher U
Fin

ALGORITHME 2 :

Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début :
  Saisir une valeur pour N
  Pour i de 1 à N faire
    Affecter 115 à U
    Affecter  à U
  Fin Pour
  Afficher U
Fin

ALGORITHME 3 :

Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début :
  Saisir une valeur pour N
  Affecter 115 à U
  Pour i de 1 à N faire
    Affecter  à U
  Fin Pour
  Afficher U
Fin

Premier algorithme : La formule n'est pas bonne, ce n'est pas , mais .

Deuxième algorithme : Ici encore la formule n'est pas bonne et en plus à chaque tour de boucle U reçoit la valeur 115.

b. Donner, pour tout entier naturel , l'expression de en fonction de .

3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par .

a. Montrer que est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser .

Pour tout entier naturel :

Donc est géométrique de raison .

b. Exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .

est une suite géométrique de raison et de premier terme donc :

c. En déduire que pour tout entier naturel , .

De on obtient : et en remplaçant :

d. La capacité d'accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.

A-t-on pour tout entier naturel ?

donc soit ,

La capacité est suffisante.

4. chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au 1 janvier.

Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1 janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période.

On calcule le nombre d'oiseaux présents durant la période soit :

; ; ; ; ;

Au total : 1060.

Subvention : euros.

Conditions Générales d'Utilisation