Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths d'avril 2014 à Pondichéry

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Un artisan glacier commercialise des << sorbets bio >>. Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction définie pour tout nombre réel de l'intervalle par .
Lorsque représente le nombre de centaines de litres de sorbet, est le coût total de fabrication en centaines d'euros.
La recette, en centaines d'euros, est donnée par une fonction définie sur le même intervalle .

 

 

Partie A

La courbe représentative de la fonction et la droite représentative de la fonction linéaire sont données ci-dessous :
1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification.
a. Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet.
10 centaines d'euros soit 1000 euros.

 

 

b. Donner l'expression de en fonction de .
c. Combien l'artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l'entreprise dégage un bénéfice ?
Pour dégager un bénéfice l'artisan doit produire plus de 100 litres de sorbet.
2. On admet que .
a. En déduire la valeur de .
b. En déduire, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l'euro) du coût total de production.
Valeur moyenne de sur : .
Pour une production entre 100 et 300 litres, le coût moyen de la production est d'environ 1390 euros.

Partie B

On note le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de centaines de litres de sorbet produit. D'après les données précédentes, pour tout de l'intervalle , on a :

est exprimé en centaines d'euros.
1. On note la fonction dérivée de la fonction .
Montrer que, pour tout nombre de l'intervalle , on a :
.
La dérivée de est
Pour la dérivée de , formule de la dérivée du produit :
soit
Donc
2. On donne le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle .
a. Montrer que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
Donner une valeur approchée de à .
est continue et strictement décroissante sur avec :
Bien sûr , donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire a une unique solution dans .
Avec la calculette on trouve .
b. En déduire le signe de sur l'intervalle puis dresser le tableau de variation de la fonction sur ce même intervalle.
3. L'artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins 850 euros. Est-ce envisageable ?
D'après l'étude précédente le bénéfice maximal que l'artisan peut atteindre est environ 843 euros.
Donc ce n'est pas envisageable.

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