Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac ES de maths d'avril 2014 à Pondichéry

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Un artisan glacier commercialise des << sorbets bio >>. Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité. Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction définie pour tout nombre réel de l'intervalle par . Lorsque représente le nombre de centaines de litres de sorbet, est le coût total de fabrication en centaines d'euros. La recette, en centaines d'euros, est donnée par une fonction définie sur le même intervalle .

 

 

Partie A

La courbe représentative de la fonction et la droite représentative de la fonction linéaire sont données ci-dessous : 1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification. a. Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet.

 

 

b. Donner l'expression de en fonction de . c. Combien l'artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l'entreprise dégage un bénéfice ? 2. On admet que . a. En déduire la valeur de . b. En déduire, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l'euro) du coût total de production.

Partie B

On note le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de centaines de litres de sorbet produit. D'après les données précédentes, pour tout de l'intervalle , on a :

où est exprimé en centaines d'euros. 1. On note la fonction dérivée de la fonction . Montrer que, pour tout nombre de l'intervalle , on a : . 2. On donne le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle . a. Montrer que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle . Donner une valeur approchée de à . b. En déduire le signe de sur l'intervalle puis dresser le tableau de variation de la fonction sur ce même intervalle. 3. L'artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins 850 euros. Est-ce envisageable ?

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