Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac ES de maths d'avril 2014 à Pondichéry
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Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau à bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.
Partie A
En 2013, l'entreprise U avait 45 % du marché et l'entreprise V le reste.
Chaque année, l'entreprise U conserve 90 % de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V.
Quant à l'entreprise V, elle conserve 85 % de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.
On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel :
la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise U l'année , ainsi ;
la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise V l'année .
1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V.
2. Donner , calculer et .
Au départ l'entreprise U a 45 % du marché donc .
2. On considère l'algorithme (incomplet) donné ci-dessous.
Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de et pour un entier naturel saisi en entrée.
| Variables : | N est un nombre entier naturel non nul | L1 |
| U et V sont des nombres réels | L2 | |
| Traitement : | Saisir une valeur pour N | L3 |
| Affecter à U la valeur 0,45 | L4 | |
| Affecter à V la valeur ... | L5 | |
| Pour i allant de 1 jusqu'à N | L6 | |
| Affecter à U la valeur | L7 | |
| Affecter à V la valeur ... | L8 | |
| Fin Pour | L9 | |
| Sortie : | Afficher U et Afficher V | L10 |
Compléter les lignes (L5) et (L8) de l'algorithme pour obtenir le résultat attendu.
Ligne L5 : Affecter à V la valeur
Ligne L8 : Affecter à V la valeur 1-U.
4. On admet que, pour tout nombre entier naturel , .
On note, pour tout nombre entier naturel , .
a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison .
Pour tout entier naturel :
Ce qui montre que est une suite géométrique de raison 0,75.
b. Quelle est la limite de la suite ?
En déduire la limite de la suite .
Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.
Comme ; .
Pour tout entier naturel :
Donc
Au fil du temps la part de marché des entreprises tend à se stabiliser autour de 60 % pour U et de 40 % pour V.
Partie B
L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :
| Nombre de recharges en milliers | 1 | 3 | 5 |
| Coût total annuel de production en centaines d'euros | 11 | 27,4 | 83 |
Le coût total de production est modélisé par une fonction définie pour tout nombre réel de l'intervalle par :
où , et sont des nombres réels.
Lorsque le nombre désigne le nombre de milliers de recharges produites, est le coût total de production en centaines d'euros.
On admet que le triplet est solution du système .
et on pose :
1.a. Ecrire ce système sous la forme où M et Y sont des matrices que l'on précisera.
avec et
b. On admet que la matrice M est inversible.
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le triplet solution du système .
Avec la calculatrice on trouve :
et du coup
Donc le triplet solution du système est
2. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8 000 recharges d'eau produites ?
Du coup
On calcule :
Pour 8 000 recharges, le coût total annuel de production est de 29 240 euros.
